MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 84

Zera i ich krotności odczytujemy z rozkładów, a następnie układamy znaki. Dla słabej nierówności wszystkie miejsca zerowe należą do rozwiązania:

• a) zera $-1,1,2$ dają $[-1,1]\cup[2,\infty)$;
• b) zera $-2,0,3$ (przy $3$ krotność $2$) dają $[-2,0)\cup\{3\}$;
• c) zera $-1$ (krotność $2$), $1,2$ dają $(-\infty,1]\cup[2,\infty)$.

Zaznaczamy wszystkie zera na osi i zmieniamy znak tylko przy zerach nieparzystej krotności. Uwzględnienie ostrości nierówności daje:

• a) $(-1,2)\cup(4,\infty)$;
• b) $[-3,5]$ (dodatkowe podwójne zero $0$ już leży w tym przedziale);
• c) $\{-4\}\cup[-3,2]$;
• d) $(-\infty,-\frac32)\cup(3,6)\cup(6,\infty)$.

$(x+4)(x-1)(x^2-1)=(x+4)(x+1)(x-1)^2.$ Kwadrat nie zmienia znaku, więc iloczyn jest niedodatni na $[-4,-1]$ oraz dodatkowo zeruje się dla $x=1$. Liczby całkowite to $-4,-3,-2,-1,1$.

Po wyłączeniu wspólnych czynników otrzymujemy:

a) $x^2(x-5)<0$; b) $x^2(x-3)(x+3)\ge0$; c) $2x^3(x^2-2)<0$; d) $(x^2-3)^2>0$.

Tabele znaków tych iloczynów prowadzą bezpośrednio do podanych zbiorów.

Sprowadzamy każdą nierówność do postaci iloczynowej:

a) Po przeniesieniu stron i rozkładzie: $x^3-2x^2-12x+24=(x-2)(x^2-12)\le0.$ Rozwiązaniem rzeczywistym jest $(-\infty,-2\sqrt3]\cup[2,2\sqrt3]$, więc naturalne są $2,3$.

b) $x^4+3x^3-8x-24=(x+3)(x-2)(x^2+2x+4)<0.$ Ostatni czynnik jest dodatni, zatem $-3<x<2$; liczbami naturalnymi są $0,1$.

Przenosimy $g(x)$ na lewą stronę i rozkładamy różnicę:

a) $A=(-\infty,0)\cup(0,3)$, bo $3x^2-x^3=x^2(3-x)$. Po podstawieniu $t=x^2$ w warunku zbioru $B$ dostajemy $(t-9)(t+4)\le0$, czyli $B=[-3,3]$.

b) $A=(-\infty,-2]\cup[0,2]$. Drugi warunek rozkłada się do $-(x-4)(x-2)(x+2)>0$, więc $B=(-\infty,-2)\cup(2,4)$. Przecięcia i różnice zbiorów są zatem następujące.