MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 83

Z wykresu odczytujemy miejsca zerowe $-3,-1,0$ oraz zgodny z punktem $P$ współczynnik wiodący równy $1$. Zatem $w(x)=x(x+3)(x+1).$ Odbicie względem osi $OX$ daje $f(x)=-x(x+3)(x+1),$ a odbicie względem osi $OY$: $g(x)=w(-x)=-x(x-3)(x-1).$ Na rysunku $f$ jest krzywą zieloną, a $g$ niebieską.

a) Wykres ma zera $0,1,2,4$, a zaznaczony punkt wyznacza współczynnik $\frac13$, więc $w(x)=\frac13x(x-1)(x-2)(x-4).$

b) Poziom $y=2$ jest osią, względem której odczytujemy zera wielomianu $w(x)-2$: $-2,-1,0,2$. Współczynnik wiodący jest równy $1$, zatem $w(x)=x(x+1)(x+2)(x-2)+2.$

Z podanych pierwiastków i krotności $w(x)=a(x+5)(x+3)(x-1)(x-3)^2.$ Warunek $w(2)=7$ daje $35a=7$, czyli $a=\frac15$. Analiza znaków od prawej strony (przy $3$ znak się nie zmienia) daje dodatniość na $(-5,-3)\cup(1,3)\cup(3,\infty).$

Z wykresu odczytujemy zero $0$ oraz podwójne zero $2$; punkt $P$ wyznacza współczynnik $2$. Stąd $w(x)=2x(x-2)^2.$ Wartość bezwzględna odbija część ujemną ponad oś $OX$: $f(x)=|w(x)|=2|x|(x-2)^2.$ Podstawienie $|x|$ daje funkcję parzystą $g(x)=w(|x|)=2|x|(|x|-2)^2.$ Na ilustracji $f$ jest wykresem zielonym, a $g$ niebieskim.

Z wykresu widać, że $f(0)=0$, więc $b=0$. Ponieważ $P(-1,8)$ należy do wykresu $f$, mamy $-1-a=8$, czyli $a=-9$. Zatem $f(x)=x^3-9x$. Nierówność $f(x)\ge g(x)$ jest równoważna $3x^3-x^2-9x+3=(3x-1)(x^2-3)\ge0.$ Tabela znaków dla zer $-\sqrt3,\frac13,\sqrt3$ daje rozwiązanie.