MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 82

Miejsca zerowe to $-2$, $2$ oraz $2k-6$ i mają być różne. Warunek średniej arytmetycznej może dotyczyć każdego z nich: $2k-6=0,\qquad 2=\frac{-2+(2k-6)}2,\qquad -2=\frac{2+(2k-6)}2.$ Stąd odpowiednio $k=3,6,0$. Obliczając $w(0)=(-2)\cdot2\cdot(6-2k)$ otrzymujemy kolejno $0,24,-24$.

Liczby całkowite z danego przedziału to $-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3$. Dla nich wartości wielomianu wynoszą kolejno $0,21,24,15,0,-15,-24,-21,0.$ Są więc trzy zera, trzy wartości dodatnie i trzy ujemne. Suma dodatnich to $d=60$, a suma ujemnych $u=-60$, zatem $|d|=|u|$.

Układamy znaki czynników na przedziałach wyznaczonych przez miejsca zerowe. Czynnik parzystej krotności nie zmienia znaku. Dostajemy:

• a) znak ujemny tylko przed $-5$;
• b) $(x-3)^2(x+3)<0$ tylko dla $x<-3$;
• c) czynnik $(x+1)^2$ nie zmienia znaku, a minus odwraca znak iloczynu $(x-2)(x+2)$;
• d) $w(x)=2x(x+1)(x-1)^2$ jest ujemny między $-1$ i $0$.

Rozkładamy wyrażenia na czynniki i uwzględniamy krotności zer:

• a) znaki zmieniają się tylko przy $-2$ i $2$; $-1$ jest zerem parzystej krotności;
• b) $w(x)=2x^4(x+3)^3(x-1)^2$, więc o znaku decyduje $x+3$;
• c) poza zerami o znaku decyduje $-(x^2-1)$, a $x=2$ jest dodatkowym zerem parzystej krotności;
• d) czynniki $(x^2+1)$ i $(x^2-3x-4)^2$ są nieujemne, więc o znaku decyduje $(4-x)^3$.

Z wykresów odczytujemy miejsca zerowe i ich krotności. Stopień równy $5$ uzupełnia sumę krotności, zaś kierunek ramion wyznacza znak współczynnika wiodącego o module $2$. Stąd $\text{a) }w(x)=-2x^2(x+2)(x+1)(x-1),$ $\text{b) }w(x)=2(x+1)^2(x-1)^2(x-2),$ $\text{c) }w(x)=-2x(x+2)(x+1)(x-1)(x-2).$

Wykres $f=-w$ jest odbiciem wykresu $w$ względem osi $OX$, a wykres $g(x)=w(-x)$ — względem osi $OY$. Wzory po podstawieniu są następujące:

a) $f(x)=-x(x-1)^2(x-2)^3$ oraz $g(x)=x(x+1)^2(x+2)^3$;

b) $f(x)=x^3(x^2-4)^3(x+2)^2$ oraz $g(x)=x^3(x^2-4)^3(x-2)^2$.