MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 81

Z wykresów odczytujemy miejsca zerowe oraz to, czy wykres przecina, czy tylko dotyka osi $OX$. Suma krotności musi być równa $4$, a współczynnik wiodący wynosi $\frac12$. Otrzymujemy więc kolejno $w(x)=\frac12x^2(x+2)(x-3),$ $w(x)=\frac12x(x+3)^2(x-2),$ $w(x)=\frac12(x+1)^2(x-3)^2.$ Znaki współczynników są zgodne z zachowaniem ramion wykresów.

Pierwiastki odczytujemy z czynników liniowych. Potęga czynnika jest krotnością pierwiastka; w miejscu o krotności parzystej wykres dotyka osi, a przy nieparzystej ją przecina:

• a) $-2,0,3$ — wszystkie jednokrotne;
• b) $-2$ — dwukrotny, $1$ — jednokrotny;
• c) $-3,1,3$ — wszystkie jednokrotne;
• d) $-2$ — jednokrotny, $2$ — dwukrotny;
• e) $-2,-1$ — jednokrotne, $1$ — dwukrotny;
• f) $-1,3$ — jednokrotne, $0$ — dwukrotny;
• g) $-5,1$ — oba dwukrotne;
• h) $-4,3$ — jednokrotne, $0$ — dwukrotny.

Znaki współczynników wiodących i stopnie wyznaczają kierunki ramion szkiców.

Z wykresu odczytujemy cztery jednokrotne miejsca zerowe $-2,-1,1,2$ oraz punkt $(0,3)$. Zatem $w(x)=a(x+2)(x+1)(x-1)(x-2).$ Po podstawieniu $x=0$ dostajemy $3=4a$, więc $a=\frac34$. Jest to zarazem współczynnik przy $x^4$.

W każdym podpunkcie zapisujemy iloczyn czynników odpowiadających miejscom zerowym i ich krotnościom. Współczynnik wyznaczamy z zaznaczonego punktu: $\text{a) }w(x)=\frac13(x+1)(x-2)(x-3),$ $\text{b) }w(x)=-2(x+1)(x-1)^2,$ $\text{c) }w(x)=-(x+2)(x+1)(x-2).$ Podstawienie współrzędnych wyróżnionych punktów potwierdza każdy współczynnik.