MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 80

Na skanie strony 80 wykres dotyka osi $OX$ i zawraca w dwóch miejscach. Takie zachowanie oznacza pierwiastek parzystej krotności. W trzecim miejscu wykres przecina oś, więc ten pierwiastek ma krotność nieparzystą.

Zachowanie ramion na skanie wyznacza znak współczynnika wiodącego, a dotknięcie osi bez jej przecięcia wskazuje krotność parzystą.

a) Dla $x\to+\infty$ wykres rośnie, więc $a_3>0$. Wszystkie trzy miejsca zerowe są przecięciami osi.

b) Dla $x\to+\infty$ wykres maleje, więc $a_3<0$. Przy $x=1$ wykres dotyka osi i zawraca.

c) Oba ramiona rosną, więc $a_4>0$. Wykres dotyka osi przy $x=-3$.

Ze skanu odczytujemy miejsca zerowe oraz to, czy wykres przecina oś, czy tylko jej dotyka. Wielomian trzeciego stopnia jest iloczynem odpowiednich czynników, pomnożonym przez podany współczynnik wiodący.

a) $-2$ jest dwukrotny, a $1$ jednokrotny; $a_3=-\frac14$.

b) $-2$ jest dwukrotny, a $1$ jednokrotny; $a_3=\frac14$.

c) $-1$ jest dwukrotny, a $2$ jednokrotny; $a_3=\frac14$.

Punkty wspólne spełniają $w(x)=v(x)$: $x^3-x^2=x^2+5x-6,$ $x^3-2x^2-5x+6=(x+2)(x-1)(x-3)=0.$ Dla $x=-2,1,3$ obliczamy wspólną wartość, np. z $v(x)=x^2+5x-6$. Otrzymujemy kolejno $-12,0,18$.