MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 79

Korzystamy z warunków na pochodne.

a) $w'(3)=a-3=0$, więc $a=3$; z $w(3)=b-9=0$ mamy $b=9$.

b) $w'(2)=4a-8=0$, więc $a=2$; następnie $w(2)=b+8=0$, czyli $b=-8$.

c) Dla pierwiastka trzykrotnego wymagamy $w(1)=w'(1)=w''(1)=0$. Rozwiązanie układu daje $a=-2$, $b=0$. Ponieważ $w'''(1)=24+6a=12\ne0$, krotność jest dokładnie trzecia.

Zapisujemy $w(x)=(x-x_1)(x-x_2)^2$ i korzystamy z zależności między pierwiastkami.

a) $x_1=3x_2$ oraz $x_1+2x_2=5$, więc $x_2=1$, $x_1=3$. Rozwinięcie daje $p=7$, $q=-3$.

b) $x_2=x_1+4$ i $-x_1x_2^2=8$. Całkowity warunek pozostawia $x_1=-2$, $x_2=2$, stąd $p=-2$, $q=-4$.

c) $x_2=x_1-2$ oraz $x_1+2x_2=-1$, więc $x_1=1$, $x_2=-1$. Stąd $p=-1$, $q=-1$.

Niech $x_1=t$, $x_2=2t$, $x_3=3t$. Suma iloczynów parami z wzorów Viète'a jest równa współczynnikowi $11$: $2t^2+3t^2+6t^2=11t^2=11.$ Zatem $t=\pm1$. Daje to odpowiednio trójki $(1,2,3)$ oraz $(-1,-2,-3)$. Obie rzeczywiście prowadzą do wielomianu o współczynniku przy $x$ równym $11$.

Wielomian rozkłada się dokładnie:

Zatem liczba $1$ jest co najmniej dwukrotnym pierwiastkiem dla każdego $p$. Wartość drugiego czynnika w $1$ wynosi $p+3$. Przy założeniu $p\ne-3$ jest niezerowa, więc krotność liczby $1$ jest dokładnie równa $2$.

Niech $q$ będzie pierwiastkiem dwukrotnym, a $p$ prostym. Wtedy $2x^3+ax^2+1=2(x-q)^2(x-p).$ Brak wyrazu liniowego daje $q(q+2p)=0$. Ponieważ wyraz wolny jest niezerowy, $q\ne0$, więc $p=-\frac q2$. Z wyrazu wolnego $-2q^2p=1$ otrzymujemy $q^3=1$, czyli $q=1$, $p=-\frac12$. Porównanie współczynnika przy $x^2$ daje $a=-3$.

Najpierw liczba $m$ musi być pierwiastkiem: $-3m^3+m^2+2m=m(-3m^2+m+2)=0.$ Stąd $m\in\{0,1,-\frac23\}$.

Dla $m=0$ równanie ma też rozwiązanie $x=\frac13$, więc odpada. Dla $m=1$ po wyłączeniu $x-1$ zostaje trójmian $-3x^2-2x-2$ o ujemnej delcie. Dla $m=-\frac23$ zostaje $-3x^2+3x-2$, również o ujemnej delcie. W tych dwóch przypadkach $m$ jest jedynym pierwiastkiem rzeczywistym.

Pierwiastek trzykrotny wymaga $w(1)=0,\qquad w'(1)=0,\qquad w''(1)=0.$ Są to równania $1+a+b+c=0,$ $5+4a+2b+c=0,$ $20+12a+2b=0.$ Ich rozwiązanie to $a=-2$, $b=2$, $c=-1$. Ponadto $w'''(1)=60+24a=12\ne0$, więc krotność jest dokładnie równa $3$.

Warunki $w(-1)=w'(-1)=0$ oraz $w(1)=-1$ tworzą układ trzech równań liniowych względem $a,b,c$. Jego rozwiązanie: $a=-\frac54,\qquad b=\frac{15}{2},\qquad c=\frac34.$

Po podstawieniu współczynników otrzymujemy rozkład

Widać stąd dwukrotny czynnik $(x-2)^2$. Pozostałe pierwiastki pochodzą z $x^2-x-\frac14=0$ i są równe $\frac{1\pm\sqrt2}{2}$.