MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 78

Kolejno wyłączamy dwumian odpowiadający podanemu pierwiastkowi.

a) $x^4-x^3-3x^2+5x-2=(x-1)^3(x+2),$ więc $1$ jest trzykrotny.

b) Wielomian jest równy $(x+1)^4$, więc $-1$ jest czterokrotny.

c) $2x^6-4x^5+x-2=(x-2)(2x^5+1),$ a drugi czynnik ma dla $x=2$ wartość $65\ne0$. Pierwiastek $2$ jest prosty.

Pierwszy czynnik rozkłada się na $x^2-4x+3=(x-1)(x-3),$ więc liczba $3$ jest już pierwiastkiem jednokrotnym. Aby była dwukrotna, drugi czynnik musi zerować się w $3$: $3^2+3a+6=15+3a=0,$ stąd $a=-5$. Pochodna drugiego czynnika w $3$ ma wtedy wartość $6+a=1\ne0$, więc łączna krotność jest dokładnie równa $2$.

Dzielimy przez kwadrat dwumianu odpowiadającego podanemu pierwiastkowi.

a) $w=(x-2)^2(x+4)$.

b) $w=(x-1)^2(4x^2+12x+7)$. Delta trójmianu wynosi $32$, więc jego pierwiastki to $\frac{-3\pm\sqrt2}{2}$.

c) $w=(x+1)^2(5x^3-x^2-10x+2)$, a $5x^3-x^2-10x+2=(5x-1)(x^2-2)$.

Rozkłady pozwalają odczytać wszystkie powtarzające się czynniki:

a) $w=x^3(x-1)^2$.

b) $w=(x+1)^3(x-1)$.

c) $w=(x-1)^2(x+1)^2$.

d) $w=(x-1)^3(x+1)(x^2+x+1)^2.$ Trójmian $x^2+x+1$ nie ma rzeczywistych pierwiastków.

Pierwiastek $\frac12$ ma być dokładnie trzykrotny, więc zapisujemy $w(x)=c\left(x-\frac12\right)^3Q(x),\qquad Q\left(\frac12\right)\ne0.$ Warunek reszty daje $w(1)=2$, czyli $cQ(1)=16$.

a) Dla stopnia $3$ mamy stałe $Q=1$ i jedyne $c=16$.

b) Przykład stopnia $4$: $Q(x)=x$, $c=16$.

c) Przykład stopnia $6$: $Q(x)=x^3$, $c=16$. W dwóch ostatnich przypadkach można wybierać wiele innych wielomianów $Q$ spełniających warunki, więc rozwiązanie nie jest jedyne.

Jeżeli $r$ jest pierwiastkiem dwukrotnym, to $w(r)=0$ i $w'(r)=0$. Ponieważ $w'(x)=3x^2-12,$ mamy $r=\pm2$.

Dla $r=2$: $w(2)=k-16$, więc $k=16$. Dla $r=-2$: $w(-2)=k+16$, więc $k=-16$. W obu przypadkach $w''(r)=6r\ne0$, zatem krotność jest dokładnie równa $2$.

Warunki na pierwiastek dwukrotny to $w(-3)=0$ oraz $w'(-3)=0$. Mamy $w(-3)=18+3a+b,$ $w'(x)=3x^2+10x-a,\qquad w'(-3)=-3-a.$ Drugie równanie daje $a=-3$, a pierwsze wtedy $b=-9$. Ponadto $w''(-3)=6(-3)+10=-8\ne0$, więc krotność jest dokładnie druga.

Sprawdzamy kolejne dzielenia przez dwumian $x-x_0$ i pilnujemy, aby następny iloraz nie zerował się w $x_0$.

a) Czynnik $x^2-9$ daje jedno $(x-3)$. Drugi czynnik zeruje się w $3$, gdy $3a(a-1)=0$, stąd $a=0$ lub $1$; zero jest w nim proste.

b) Warunki $w(-\frac12)=w'(-\frac12)=0$ dają $a=2$; wtedy $w=(x+\tfrac12)^2(4x^2-4x+4).$

c) Dla $a=-2$: $w=(x+1)^3(x-2),$ więc $-1$ jest dokładnie trzykrotny.

d) Wielomian ma być równy $16(x-\frac12)^4$. Porównanie współczynników daje $a^2=8$ i jednocześnie $-2\sqrt2a=-8$, zatem $a=2\sqrt2$.