MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 77

a) Drugi czynnik ma w $x=1$ wartość $1-1-6=-6\ne0$. Czynnik $(x-1)^2$ występuje więc dokładnie w drugiej potędze.

b) $3x^2-5x+2=(3x-2)(x-1)$, zatem $w(x)=(x-1)^3(3x-2).$ Liczba $1$ jest tu pierwiastkiem trzykrotnym, a nie dwukrotnym.

a) $2x^2-4x+2=2(x-1)^2$, więc $w(x)=2(x-1)^5.$ Pierwiastek $1$ jest pięciokrotny, zatem nie ma pierwiastka dokładnie trzykrotnego.

b) Dla drugiego czynnika $5\cdot1^3-10\cdot1=-5\ne0$, więc czynnik $(x-1)^3$ nie zwiększa krotności. Liczba $1$ jest pierwiastkiem trzykrotnym.

Rozkładamy dalsze czynniki: $x^2-4=(x-2)(x+2),\qquad x^2+x-6=(x-2)(x+3).$ Łącznie $w(x)=(x-2)^5(x+2)(x+3).$ Czynnik $x-2$ występuje dokładnie pięć razy.

Wyłączamy wspólny czynnik i stosujemy wzory skróconego mnożenia.

a) $x(x-1)^2=0$.

b) $x^2(x-2)^2=0$.

c) $x^3(x-1)(x+3)=0$.

d) $(x^2-3)^2=0$.

e) $x^2(2x^2-1)(2x^2+1)=0$.

f) $x(x^2-1)(x^2-4)=0$.

Pełne rozkłady na czynniki rzeczywiste wystarczają do odczytania krotności:

a) $w=9(x-1)^2(x-\frac13)^2$.

b) $w=x^2(x+1)^2(x^2-x+1)$.

c) $w=3x^3(2x+1)^2(2x-1)(4x^2+1)$.

d) $w=-x(x+5)(x+1)(x-5)^2$.

e) $w=x^3(x-1)^3(x+1)^2(x+3)$.

f) $w=x^2(x+1)^3(3x-2)(x-2)^2$.

Rozkładamy każdy wielomian:

a) $w=x(x-2)(x^2+1)$ — rzeczywiste pierwiastki $0,2$ są proste.

b) $w=2(x+3)(2x^2-1)$ — pierwiastki $-3,\pm\frac{\sqrt2}{2}$ są różne i proste.

c) $w=(x+2)(x-1)(x-3)$.

d) $w=(x+1)(3x-1)(x^2+1)$ — rzeczywiste pierwiastki $-1,\frac13$ są proste.

W żadnym rozkładzie rzeczywisty czynnik liniowy nie powtarza się.

a) Po wyłączeniu $(x-2)^2$ drugi czynnik przy $x=2$ ma wartość $8-4+2-1=5\ne0$, więc liczba $2$ jest dokładnie dwukrotnym pierwiastkiem.

b) Grupujemy: $x^4+x^3+x+1=(x+1)(x^3+1)=(x+1)^2(x^2-x+1).$ Po uwzględnieniu zewnętrznego czynnika $w=(x+1)^3(x^2-x+1)$, więc $-1$ jest pierwiastkiem trzykrotnym.