MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 76

Zapiszmy liczby jako $2k+1,2k+3,2k+5,2k+7$. Ich średnia to $2k+4$. Po zgrupowaniu skrajnych czynników równanie iloczynu sprowadza się do

Trójmian ma ujemną deltę, więc całkowite rozwiązania to $k=1$ i $k=-5$. Średnie wynoszą odpowiednio $6$ i $-6$.

Mamy $p(x)=xw(x)-4x+20=x^4-6x^3-x^2+26x+20.$ Wspólny całkowity pierwiastek $w$ i $p$ musi zerować także $p(x)-xw(x)=-4x+20$, więc jest równy $5$. Dzielenie prowadzi do rozkładu $p(x)=(x-5)(x+1)(x^2-2x-4).$ Ostatni czynnik daje $x=1\pm\sqrt5$.

Ze skanu wynika, że boki prostokąta mają długości $t$ i $w(t)$. Zatem $P(t)=t\,w(t)=t^4-1{,}5t^3-1{,}5t^2+3t.$

Prostokąt jest kwadratem, gdy $w(t)=t$: $t^3-1{,}5t^2-2{,}5t+3=0.$ Po pomnożeniu przez $2$: $2t^3-3t^2-5t+6=(t-1)(t-2)(2t+3).$ Warunek $t>0$ pozostawia $t=1$ i $t=2$. Wtedy bok ma odpowiednio długość $1$ lub $2$, więc pola wynoszą $1$ i $4$.

Mamy $w(0)=d$, więc $d$ jest nieparzyste. Ponadto $w(1)=a+b+c+d$ jest nieparzyste.

Jeżeli całkowite $x$ jest parzyste, to modulo $2$ wszystkie składniki z $x$ znikają i $w(x)\equiv d\equiv1\pmod2$. Jeżeli $x$ jest nieparzyste, to $x^j\equiv1\pmod2$ i $w(x)\equiv a+b+c+d=w(1)\equiv1\pmod2$. W obu przypadkach $w(x)$ jest nieparzyste, a więc nie może być równe zeru.

Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych i dzielenie dają

Wszystkie trzy pierwiastki są dodatnie. Ponadto

Spełniają więc twierdzenie Pitagorasa.

Dla ustalonego całkowitego $k$ pierwiastek wymierny musi należeć do skończonej listy wynikającej z twierdzenia o pierwiastkach wymiernych. Podstawiamy każdego kandydata i rozwiązujemy otrzymane równanie liniowe względem $k$.

a) Kandydaci $\pm1,\pm2$ dają $k\in\{-9,-2,0,1\}$.

b) Kandydaci $\pm1,\pm\frac12$ dają $k\in\{-4,0\}$.

c) Kandydaci $\pm1,\pm\frac12,\pm\frac14$ dają $k\in\{-3,2,5,6,15,17\}$.

Po uproszczeniu potęg współczynniki są całkowite. Sprawdzamy dzielniki $2^{18}$ postaci $2^j$ oraz ich liczby przeciwne. Otrzymujemy trzy zera: $-2^8$, $-2^7$ i $2^3$. Ponieważ wielomian jest stopnia trzeciego, $w(x)=(x+2^8)(x+2^7)(x-2^3),$ co po rozwinięciu odtwarza wszystkie podane współczynniki.