MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 75

Rozkład wielomianu jest równy $36x^3-36x^2+11x-1=(2x-1)(3x-1)(6x-1).$ Pierwiastki to $\frac12,\frac13,\frac16$, zatem ich suma wynosi $\frac12+\frac13+\frac16=1.$

Rozwijamy: $w(x+2)=x^3+9x^2+11x-21,$ więc $p(x)=x^3+9x^2+16x+14.$ Liczba $-7$ jest pierwiastkiem, a dzielenie daje $p(x)=(x+7)(x^2+2x+2).$ Delta drugiego czynnika wynosi $-4$, więc nie ma on rzeczywistych zer.

Najpierw $w(x)=(x+3)(x+2)(x-5),$ więc jego pierwiastki to $-3,-2,5$.

Dla $f(x)=w(x+4)$ rozwiązujemy $x+4\in\{-3,-2,5\}$. Dla $g(x)=w(2x)$ rozwiązujemy $2x\in\{-3,-2,5\}$. Dla $h(x)=w(3x-1)$ rozwiązujemy $3x-1\in\{-3,-2,5\}$.

Dla $P_1$ równanie objętości ma postać $2x(x-1)(2x-1)=360.$ Warunek $x>1$ i sprawdzenie całkowitych kandydatów dają $x=5$, więc wymiary to $4,10,9$, a wysokość $10$.

Dla $P_2$: $2t(t-1)(4t-1)=360.$ Otrzymujemy $t=4$, zatem wymiary to $15,3,8$, a wysokość $15$.

Sprawdzamy stałego kandydata niezależnego od $p$:

Zatem dla każdej rzeczywistej wartości $p$ liczba $2$ jest pierwiastkiem całkowitym tego wielomianu.

Wyraz wolny $15$ ogranicza kandydatów do jego dzielników. Warunek o sumie dwóch pierwiastków pomaga znaleźć parę $-5$ i $1$. Dzielenie przez $(x+5)(x-1)$ prowadzi do $w(x)=(x+5)(x+1)(x-1)(x-3).$ Wszystkie cztery czynniki liniowe są różne.

Dla wielomianu monicznego iloczyn trzech pierwiastków wynosi $-5$. Trzy różne całkowite liczby o takim iloczynie to, z dokładnością do kolejności, tylko $-1,1,5$. Stąd $w(x)=(x+1)(x-1)(x-5)=x^3-5x^2-x+5.$ Porównanie współczynników daje $a=-5$, $b=-1$.

Sprawdzamy pary liczb przeciwnych z podanego zbioru. Wielomian zerują $\frac12$ i $-\frac12$, więc zawiera czynnik $4x^2-1$. Dzielenie daje

Poza wskazaną parą pozostają pierwiastki $-1$ i $3$.

Korzystamy z informacji o parach odwrotnych i sprawdzamy wymierne dzielniki. Rozkład jest równy

Każdy z czterech czynników liniowych daje inny pierwiastek wymierny, a pary $(-\frac32,-\frac23)$ i $(\frac12,2)$ składają się z liczb odwrotnych.