MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 72

Z danych: $w(1)=a+b-1=7,\qquad w(-2)=4a-2b-28=-26.$ Stąd $a+b=8$ oraz $2a-b=1$, więc $a=3$, $b=5$. Wtedy $w(-3)=3(-27)+3\cdot9+5(-3)-4=-73.$ Jest to szukana reszta z dzielenia przez $x+3$.

Podstawiamy wszystkie podane pierwiastki.

a) Układ $w(-2)=0$, $w(1)=0$ ma postać $16-2p+q=0$, $1+p+q=0$. Stąd $p=5$, $q=-6$.

b) Równania dla $x=-2,-1,2$: $-32+4p-2q+r=0,$ $-1+p-q+r=0,$ $32+4p+2q+r=0.$ Ich rozwiązaniem jest $p=5$, $q=-16$, $r=-20$.

Reszty są równe: $w(1)=c+15{,}5,\quad w(3)=c+16{,}5,\quad w(5)=c+17{,}5.$ Zawsze różnią się kolejno o $1$. Wszystkie trzy są całkowite dokładnie wtedy, gdy $c+15{,}5\in\mathbb Z$, czyli $c=k+0{,}5$ dla pewnego $k\in\mathbb Z$.

a) Bezpośrednio: $p(-2)=50\ne0$, $q(-2)=-50\ne0$, natomiast $w(-2)=0$.

b) Sumujemy: $w(x)=5x^3+15x^2-50x-120=5(x+4)(x+2)(x-3).$

c) Rozkłady $p(x)=(x+4)(2x-1)(x-3),$ $q(x)=(x+4)(3x+11)(x-3)$ pokazują wspólne z $w$ pierwiastki $-4$ i $3$.

d) Odczytujemy wszystkie pierwiastki z tych rozkładów.

Reszta wynosi $r=w(-2)=16+16+4k+8+6=46+4k.$ Warunek $|r|<10$ jest równoważny $-10<46+4k<10,$ czyli po odjęciu $46$ i podzieleniu przez $4$: $-14<k<-9.$

Niech $x_1<x_2<x_3$. Z danych: $x_1+x_2+x_3=0,\qquad x_2+x_3=5,$ więc $x_1=-5$. Rzeczywiście $-5$ zeruje równanie. Dzielenie przez $x+5$ daje $x^3-19x+30=(x+5)(x^2-5x+6)=(x+5)(x-2)(x-3).$ Największym pierwiastkiem jest $3$.

Reszta z dzielenia przez wielomian stopnia $2$ ma postać $r(x)=ax+b$. Z podanych reszt liniowych: $r(4)=4a+b=9,\qquad r(-3)=-3a+b=2.$ Odejmując równania, dostajemy $7a=7$, więc $a=1$, a następnie $b=5$.

Twierdzenie o reszcie daje $a^4+a+7=637,\qquad a^4-a+7=627.$ Po odjęciu równań otrzymujemy $2a=10$, czyli $a=5$. Szukana reszta to $w(2a)=w(10)=10^4+10+7=10\,017.$

Reszta z dzielenia przez $x-1$ jest równa $w(1)=1+1+\cdots+1=n+1.$ Z warunku $n+1=10$ wynika $n=9$. Najwyższa potęga w zapisie to $x^n$, więc stopień wielomianu jest równy $9$.