MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 71

Z twierdzenia Bézouta podstawiamy miejsce zerowe dzielnika.

a) $w(1)=1-1+3-5+2=0$.

b) $w(2)=16-4-14+3=1\ne0$.

c) $w(-5)=125-100-20-5=0$.

d) Dla $2x-1$ podstawiamy $x=\frac12$: $w(\frac12)=\frac14+\frac34+1-2=0$.

Reszta z dzielenia przez $x-a$ jest równa $w(a)$.

a) $w(-2)=16-20+7=3$.

b) $w(3)=-54+54+6-8=-2$.

c) $w(-\frac12)=\frac12+\frac54-\frac12-3=-\frac74$.

d) Dla $3x-1$ podstawiamy $\frac13$: $w(\frac13)=1-\frac13+4=\frac{14}{3}$.

e) Dla $2x+1$ podstawiamy $-\frac12$: $w(-\frac12)=-\frac14+\frac54-3+5=3$.

Warunki na reszty mają postać $w(6)=3$ i $w(3)=6$: $6k+m=-33,\qquad 3k+m=-3.$ Odejmowanie równań daje $3k=-30$, więc $k=-10$. Z drugiego równania $m=27$.

Reszty wynoszą $w(2)=24+2b+c,\qquad w(-2)=24-2b+c.$ Są przeciwne, gdy ich suma jest równa zeru: $48+2c=0,\qquad c=-24.$ Współczynnik $b$ znika z tego warunku, więc może być dowolny.

Podstawienie podanej liczby w każdym podpunkcie daje zero. Dzielimy następnie przez odpowiadający jej dwumian.

a) $x^3-2x+1=(x-1)(x^2+x-1)$.

b) $x^3-5x+2=(x-2)(x^2+2x-1)$.

c) Po przeniesieniu na jedną stronę: $x^4-x^3-x^2-x-2=(x+1)(x-2)(x^2+1)$.

d) $2x^4+x^3+x^2+x-1=(2x-1)(x+1)(x^2+1)$. Uwzględniamy tylko pierwiastki rzeczywiste.

Podstawiamy miejsce zerowe dzielnika.

a) $w(1)=m+1$, więc $m=-1$.

b) $w(-2)=-4(m^2+2m-3)=-4(m-1)(m+3)$.

c) $w(3)=m^2+9m+8=(m+1)(m+8)$.

Podzielność przez $x-3$ jest równoważna $w(3)=0$: $w(3)=m^4-2m^2-3=(m^2-3)(m^2+1).$ Dla rzeczywistego $m$ drugi czynnik jest dodatni, więc $m^2=3$ i $m=\pm\sqrt3$. Są zatem dwie wartości.