MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 73

Iloczyn dwumianów odpowiadających podanym pierwiastkom jest równy

Dzielimy: $w(x)=(x^2-2x-4)(3x^2+4x-1).$ Pozostałe pierwiastki spełniają $3x^2+4x-1=0$, którego delta wynosi $28$.

Reszta z dzielenia przez $x+a$ wynosi $w(-a)=4-a^2,$ a reszta z dzielenia przez $x-a$ wynosi $w(a)=2a^3+a^2+4.$

a) $4-a^2=0$, więc $a=\pm2$.

b) $4-a^2=3$, więc $a=\pm1$.

c) $4-a^2=3a$, czyli $(a-1)(a+4)=0$.

d) $2a^3+a^2+4=7$, czyli $(a-1)(2a^2+3a+3)=0$. Drugi czynnik nie ma rzeczywistych zer.

Suma współczynników wielomianu jest równa $w(1)$. Warunek sumy równej zero oznacza więc, że liczba $1$ także ma być pierwiastkiem. Ponieważ wymagane pierwiastki $-1,2,3$ są różne od $1$, najmniejszy możliwy stopień to $4$. Możemy wybrać $w(x)=(x-1)(x+1)(x-2)(x-3).$ Po rozwinięciu dostajemy $x^4-5x^3+5x^2+5x-6$, którego współczynniki sumują się do zera.

Z twierdzenia Bézouta wystarczy obliczyć $w(2)$:

Zatem $2$ jest pierwiastkiem $w$ dla każdego $n\in\mathbb N_+$, a więc $x-2$ jest jego dzielnikiem.

a) Z wzorów Viète'a suma pierwiastków to $a+2a+(a+1)=4a+1=-7$, więc $a=-2$. Pierwiastki to $-4,-2,-1$. Ich sumy parami dają $p=14$, a przeciwność iloczynu daje $q=8$.

b) Dla pierwiastków $a,-a,3a$ suma iloczynów parami wynosi $-a^2=-4$, więc $a=\pm2$. Dla $a=2$ otrzymujemy $(p,q)=(-6,24)$, a dla $a=-2$ parę $(6,-24)$.

Zakładamy $a\ne0$. Z dzielenia z resztą istnieją wielomian $p$ i stała $r$, dla których $w(x)=(ax+b)p(x)+r.$ Podstawiamy miejsce zerowe dzielnika $x=-\frac ba$: $w\left(-\frac ba\right)=0\cdot p\left(-\frac ba\right)+r=r.$ To dowodzi podanej postaci reszty.

Prosta przechodzi przez $(0,-1)$ i $(1,2)$, więc jej współczynnik kierunkowy wynosi $3$, a wzór to $r(x)=3x-1$.

Dzielimy wielomian:

Porównanie reszty z $3x-1$ daje $k+4=3$ i $m+20=-1$.

Trójmian rozkłada się na $x^2+5x+6=(x+2)(x+3).$ Sprawdzamy oba jego różne pierwiastki: $w(-2)=0^{2n}+1^n-1=0,$ $w(-3)=(-1)^{2n}+0^n-1=1-1=0$ dla $n\in\mathbb N_+$. Wielomian ma więc czynniki $x+2$ i $x+3$, a zatem także ich iloczyn.

Niech reszta z dzielenia przez $p$ ma postać $r(x)=ax+b$. Pierwiastki $p(x)=(x-3)(x+7)$ to $3$ i $-7$. Ponieważ $w=x^3+p$, mamy $r(3)=w(3)=27,\qquad r(-7)=w(-7)=-343.$ Układ $3a+b=27$, $-7a+b=-343$ daje $a=37$, $b=-84$.

Podzielność przez $x^2-1=(x-1)(x+1)$ wymaga $w(1)=w(-1)=0$. Ponieważ $2021$ jest nieparzyste: $-1+a+b=0,\qquad 1-a+b=0.$ Po dodaniu równań dostajemy $b=0$, a następnie $a=1$.