MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 70

Z wymiarów odczytanych z rysunku:

Składamy funkcje: $u(w(x))=(ax+b)^2+p=a^2x^2+2abx+b^2+p.$ Porównanie z $4x^2+12x+16$ daje $a^2=4,\qquad ab=6,\qquad b^2+p=16.$ Dla $a=2$ mamy $b=3$, a dla $a=-2$ mamy $b=-3$; w obu przypadkach $p=7$.

Wystarczy podać po jednym przykładzie i sprawdzić tożsamość.

a) Niech $f(x)=2x-1$, $g(x)=3x+2$. Wtedy $w=(f+g)x^2-f=5x^3+x^2-2x+1=u.$

b) Niech $f(x)=x-3$, $g(x)=2x+1$. Wtedy $w=x^2f+(x^2+x)g=3x^3+x,$ a także $u=3x^3-3+2x-(x-3)=3x^3+x$.

Równość wielomianów wymaga jednocześnie $|a-4|=5,\qquad a^2+8=9.$ Drugie równanie daje $a=\pm1$. Sprawdzenie pierwszego pozostawia tylko $a=-1$, bo $|-1-4|=5$, natomiast $|1-4|=3$.

Przyrost objętości po zwiększeniu jednego wymiaru o $a$ jest równy $a$ razy iloczyn dwóch pozostałych wymiarów. Rozkładamy: $12x^2-30x-18=6(2x+1)(x-3).$ Są to dokładnie dwa pierwsze wymiary pomnożone przez $6$. Zwiększono więc trzeci wymiar $3x+5$, a przyrost wyniósł $a=6$.

a) Przyjmujemy $w=(x^2+px+q)^2$. Z $2p=4$ mamy $p=2$, a z $p^2+2q=-4$ dostajemy $q=-4$. Wtedy $a=2pq=-16$, $b=q^2=16$.

b) Przyjmujemy $w=(2x^2+px+q)^2$. Warunki $q^2=1$ i $2pq=-2$ dają pary $(p,q)=(-1,1)$ albo $(1,-1)$. Następnie $a=4p$, $b=p^2+4q$.

Porządkujemy $u(x)=-x^3+2cx^2-cx.$ Równość $u=w$ daje $(a+b)^2=2c$ i $b-a=-c$. Ponieważ $P(1,1)$ leży na wykresie, $w(1)=1$, czyli po użyciu tych dwóch równości $c-1=1$; zatem $c=2$. Mamy więc $(a+b)^2=4$ oraz $b-a=-2$, skąd $(a,b)=(2,0)$ lub $(0,-2)$.

Wielomian ma postać $w(x)=-x^3+4x^2-2x=-x(x^2-4x+2),$ więc jego miejsca zerowe to $0$ oraz $2\pm\sqrt2$.

a) Modulo $x^2+3x-1$ mamy $x^2\equiv-3x+1$ i $x^3\equiv10x-3$. Reszta z $w$ wynosi $(10-3a+b)x+(b^2-4).$ Warunki $b=3a-10$ i $b^2=4$ dają $(a,b)=(\frac83,-2)$ lub $(4,2)$.

b) Modulo $x^2-x+1$ zachodzi $x^2\equiv x-1$, $x^3\equiv-1$, $x^4\equiv-x$. Reszta jest równa $(a^2+a-b-1)x+(-2a+b-1).$ Po wyzerowaniu współczynników otrzymujemy $(a,b)=(-1,-1)$ lub $(2,5)$.