MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 69

a) Po rozwinięciu $u(x)=x^3-(b+2a)x^2+(a^2+2ab)x-a^2b.$ Współczynnik wiodący daje $c=1$, a pozostałe równania: $b+2a=5,\qquad a^2+2ab=3,\qquad -a^2b=3+2a.$ Z dwóch pierwszych otrzymujemy $a=3$ lub $a=\frac13$; ostatnie równanie spełnia tylko $a=3$, wtedy $b=-1$.

b) Najwygodniej podstawiać kolejno $x=1,2,3$. Otrzymujemy $2b=w(1)=4$, $-c=w(2)=0$ i $2a=w(3)=6$.

Z równości $p=q$ porównujemy współczynniki: $2(a-12)=a-b,\qquad a+b=2(b-2a).$ Stąd $a=4$, $b=20$.

Z równości $s=t$ mamy $4(6+d)=1-3c,\qquad 2d=5(c-1),$ co daje $c=-1$, $d=-5$. Zatem $w(x)=4x^3+20x^2-x-5=(4x^2-1)(x+5).$

Rozwijamy przesuniętą funkcję: $g_2(x)=g_1(x+m)=x^2+(2m-10)x+m^2-10m+22.$ Natomiast $f_2(x)=x^2+4x+7+k$. Równość wykresów wymaga $2m-10=4,\qquad m^2-10m+22=7+k.$ Pierwsze równanie daje $m=7$, a drugie $k=-6$.

Wielomiany byłyby równe, gdyby $k+m=4-k-m,\qquad 1-2k=3m.$ Pierwsze równanie daje $k+m=2$. Po podstawieniu do drugiego otrzymujemy jedyną parę $(k,m)=(5,-3)$. Zatem wielomiany nie są równe dla każdej innej pary parametrów.

Mamy $v(x)w(x)=x^2+(p+q)x+pq,$ $t(x)=x^2+2x+p+q.$ Równość wymagałaby $p+q=2$ oraz $pq=p+q=2$. Liczby $p,q$ musiałyby więc być pierwiastkami równania $z^2-2z+2=0$, którego delta wynosi $-4$. Nie istnieją rzeczywiste parametry spełniające warunki.

Warunek $-w(x)=w(-x)$ oznacza, że $w$ jest wielomianem nieparzystym. Muszą zniknąć współczynnik przy $x^2$ i wyraz wolny: $p-3q-15=0,\qquad 2p-q-10=0.$ Po podstawieniu $p=3q+15$ do drugiego równania dostajemy $5q=-20$, czyli $q=-4$ i $p=3$.

Modulo $q(x)=x^2+2x-2$ zachodzi $x^2\equiv-2x+2$. Stąd $x^3\equiv6x-4,\qquad x^4\equiv-16x+12.$ Reszta z dzielenia $w$ wynosi zatem $r(x)=(a+4)x+(b-2).$ Porównujemy ją kolejno z resztami podanymi w poleceniu.

Pierwsze dzielenie daje resztę $r_1(x)=(p+34)x+q-40,$ a drugie $r_2(x)=(q-2)x-p-24.$ Z równości współczynników: $p+34=q-2,\qquad q-40=-p-24.$ Czyli $q=p+36$ oraz $p+q=16$, skąd $p=-10$, $q=26$.