MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 68

Kontrola skanu strony 68 pokazuje, że we wzorze na $k$ wewnętrzny składnik to $4x^2+2$ (OCR Markdown błędnie zapisał $4x^4+2$). Rozwijamy: $f(x)=64x^6+16x^2,$ $g(x)=48x^4+8\sqrt3x^2+4,$ $h(x)=24x^4+2,$ $k(x)=4x^2(4x^2+2)^2-64x^4=64x^6+16x^2.$ Tylko $f$ i $k$ mają identyczne współczynniki przy wszystkich potęgach.

Rozwijamy prawą stronę i porównujemy współczynniki przy tych samych potęgach.

a) Prawa strona to $x^4-ax^3+(b-1)x^2+ax-b$, stąd $a=1$, $b=3$.

b) Po rozwinięciu dostajemy $ax^4+(a+b)x^3+(b+1)x^2+x$, więc $a=-1$, $b=4$.

c) Iloczyn ma postać $ax^3+(a+b)x^2+(a+b)x+b$, co daje $a=4$, $b=-3$.

d) Iloczyn jest równy $x^5+(a-2)x^3+bx^2-2ax-2b$; stąd $a=1$, $b=-2$.

Po rozwinięciu $v(x)=x^2-(a+b)x+ab.$ Porównanie z $w(x)=x^2+ax+b$ daje $-(a+b)=a,\qquad ab=b.$ Drugie równanie ma postać $b(a-1)=0$. Dla $b=0$ pierwsze daje $a=0$; dla $a=1$ pierwsze daje $b=-2$.

Rozwijamy:

Porównanie współczynnika przy $x^2$ daje $r+6=5$, czyli $r=-1$. Następnie $p=6r+9=3$ i $q=-9r=9$.

Rozwijamy drugi wielomian:

Z równości współczynników $2k+1=15$, więc $k=7$. Dalej $c=k+2=9$ i $d=k=7$. Zatem $\frac{k}{c-d}=\frac7{9-7}=\frac72=3{,}5.$

Oba dzielenia są dokładne: $\frac{x^3+4x^2+2x-1}{x+1}=x^2+3x-1,$ $\frac{5x^3-8x^2+5x-2}{x-1}=5x^2-3x+2.$ Lewa strona ma więc postać $(a+6)x^2+bx+1-\sqrt2.$ Porównanie z $(7-\sqrt2)x^2+ax+b$ daje kolejno $a=1-\sqrt2$ oraz $b=a=1-\sqrt2$.

W każdym podpunkcie dodajemy wskazane wielomiany i porównujemy cztery współczynniki.

a) Z $p+q=t$ otrzymujemy układ $1+b=1$, $5a=a-1$, $3+c=-4c$, $5+d=2d-1$.

b) Z $p+t=q$ otrzymujemy $2=b$, $-a-1=7a$, $3-4c=c$, $4+2d=d$.

c) Z $q+t=p$ otrzymujemy $b+1=1$, $8a-1=-2a$, $-3c=3$, $3d-1=5$. Rozwiązanie tych układów daje podane niżej wartości.

Warunek $w(0)=-5$ daje $km=-5$. Z kolei $w(1)=0$ oznacza $(1+k)(1+m)=0$, więc jedna z liczb $k,m$ jest równa $-1$, a druga $5$. Po rozwinięciu otrzymujemy niezależnie od kolejności $w(x)=x^3+5x^2-x-5.$ Porównanie z $t$ prowadzi do układu $p+q=5,\qquad 2p+3q=1.$ Stąd $q=-9$ i $p=14$.