MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 67

Dzielenie pisemne daje następujące ilorazy i reszty.

a) $p=x-4$, $r=x+5$.

b) $p=-x^2+4x+2$, $r=-1$.

c) $p=2x+1$, $r=-5x$.

d) $p=2x^2-2x+3$, $r=-8x+6$.

W każdym przypadku stopień reszty jest mniejszy od stopnia dzielnika.

Wykonujemy dzielenie i zatrzymujemy składnik stopnia niższego niż dzielnik.

a) $w=q\left(x^2+x+2\right)+2$, więc $r=2$.

b) $w=q(-2x+1)+(-3x+5)$.

c) $w=q\left(x^2+x\right)+0$.

d) $w=q(x^2+2x+2)+(4x^2+4x-3)$.

Pierwsze dzielenie daje $w(x)=(x^2+1)(x^2+3x-18)+(x-3).$ Zatem $v(x)=x^2+3x-18$ i $r(x)=x-3$. Ponieważ $x^2+3x-18=(x-3)(x+6),$ drugie dzielenie jest dokładne i $p(x)=x+6$.

Porównujemy współczynniki po zapisaniu $w=u\cdot p$.

a) Iloraz musi mieć postać $4x+c$. Z porównania współczynników $c=-6$, a następnie $a=-2$, $b=-6$.

b) Przyjmujemy iloraz $-3x+c$. Współczynnik przy $x^2$ daje $c=1$, a pozostałe: $a=10$, $2b=3$.

c) Redukując modulo $x^2+2x+5$, mamy $x^2\equiv-2x-5$ i $x^4\equiv12x+5$. Reszta z $w$ wynosi $(12-2a)x+(5-5a+b)$, więc $a=6$, $b=25$.

Iloraz dwóch wielomianów stopni $3$ i $2$ jest liniowy.

a) Z tożsamości $w=(x+4)(x^2+2x+n)$ wynika $n=-5$ oraz $m=4n=-20$.

b) Porównanie w $w=(x+2)(x^2+3x-n)$ daje $n=4$, $m=8$.

c) Porównanie w $w=(-3x+1)(3x^2-nx+1)$ daje $n=0$, $m=-3$.

Ponieważ wyraz wolny i współczynnik wiodący są równe $1$, iloraz ma postać $x^2+px+1$. Mnożenie daje

Porównanie z $w$ prowadzi do $p-n=-3,\qquad np=0,\qquad m=p-n=-3.$ Stąd albo $n=0,p=-3$, albo $p=0,n=3$.

Sprowadzamy licznik do postaci $Q(n)D(n)+R(n)$. Podzielność zachodzi wtedy, gdy dodatni dzielnik $D(n)$ dzieli niewielką resztę.

a) $3n^3-8n^2+14n-8=(n^2-n+3)(3n-5)+7.$ Warunek $3n-5\mid7$ daje $n=2$ lub $n=4$.

b) $n^3-2n+1=(n-2)(n^2+2n+2)+5.$ Dla $n\in\mathbb N$ warunek $(n^2+2n+2)\mid5$ daje $n=1$.

c) $n^5+1=(n^3-n)(n^2+1)+(n+1).$ Dla $n\ge2$ zachodzi $0<n+1<n^2+1$, więc pozostają $n=0,1$ i oba działają.

d) $n^4+3n^2+8=(n^2+1)(n^2+2)+6.$ Zatem $n^2+2\in\{2,3,6\}$, co daje $n=0,1,2$.