MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 66

Z twierdzenia o reszcie: $r_u=u(4)=64+16-56+d=24+d,$ $r_w=w(4)=64+16-76-d=4-d.$ Reszty mają być równe, więc $24+d=4-d,\qquad 2d=-20,\qquad d=-10.$

a) Z punktu $P(1,0)$ odczytujemy $w(1)=0$, zatem $4+a+1+3=0$ i $a=-8$.

Po podstawieniu: $w(x)=4x^4-8x^3+x^2+3x.$

b) Sprawdzamy wartości odpowiadające pierwiastkom dwumianów: $w\left(-\frac12\right)=0,\qquad w\left(\frac32\right)=0.$ Z twierdzenia Bézouta $w$ jest więc podzielny przez $2x+1$ i $2x-3$.

c) Dla $u(x)=w(x)-1$ mamy $u\left(\frac12\right)=w\left(\frac12\right)-1=1-1=0,$ więc $u$ jest podzielny przez $2x-1$.

Liczba $t$ jest resztą z dzielenia lewej strony przez $x-2$. Po podstawieniu $x=2$ składnik zawierający $p(x)(x-2)$ znika: $t=2^3-3\cdot2^2+2\cdot2-1=8-12+4-1=-1.$

Dziedzina wymaga $x\ne5$. Licznik rozkłada się na $x^2+3x-40=(x-5)(x+8).$ Dla $x>5$ mamy $|x-5|=x-5$, a dla $x<5$ mamy $|x-5|=-(x-5)$.

Dla $n\in\mathbb N$ mianownik $n+3$ jest dodatni. Rozkładamy licznik: $n^3+5n^2+7n+3=(n+3)(n^2+2n+1)=(n+3)(n+1)^2.$ Po skróceniu otrzymujemy $(n+1)^2$, czyli liczbę naturalną.

Reszta z dzielenia przez $x-4$ wynosi $r=w(4)=2\cdot64-8\cdot16+5\cdot4+d=20+d.$ Do nierówności $-10\le d\le10$ dodajemy stronami $20$.

Skoro reszta z dzielenia $w$ przez $x-a$ jest równa $r$, to dla pewnego wielomianu $p$: $w(x)=(x-a)p(x)+r.$ Po podniesieniu do kwadratu: $w(x)^2=(x-a)\bigl((x-a)p(x)^2+2rp(x)\bigr)+r^2.$ Ostatni składnik jest stały, więc jest resztą z dzielenia $w^2$ przez $x-a$.

Korzystamy z warunku $w(\alpha)=0$, gdzie $\alpha$ jest miejscem zerowym dzielnika.

a) Dla $\alpha=-2$: $w(-2)=-2(a^3-3a+2)=-2(a-1)^2(a+2).$ Stąd $a=1$ lub $a=-2$.

b) Dla $\alpha=a$: $w(a)=a^3-3a^2-3a+1=(a+1)(a^2-4a+1).$ Drugi czynnik daje $a=2\pm\sqrt3$.

Jeżeli $F(-5)=4$, to reszta z dzielenia $F$ przez $x+5$ jest równa $4$. Wybieramy kolejno wielomiany ilorazowe stopni $2,3,4$: $u(x)=(x^2+1)(x+5)+4,$ $v(x)=(x^3+1)(x+5)+4,$ $w(x)=(x^4+1)(x+5)+4.$ Ich stopnie są odpowiednio równe $3,4,5$.

Dzielimy: $6x^3+2x^2+kx+m=(2x^2+4)(3x+1)+(k-12)x+(m-4).$ Iloraz jest więc równy $3x+1$, a reszta $(k-12)x+m-4$. Równość tych wielomianów dla każdego $x$ daje układ $k-12=3,\qquad m-4=1.$