MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 63

Wprowadzamy podstawienie będące powtarzającą się potęgą.

a) Dla $t=x^2$: $(t-1)(t-16)=0$, więc $x=-4,-1,1,4$.

b) Dla $t=x^3$: $(t-1)(t-27)=0$, więc $x=1,3$.

c) Dla $t=x^4$: $(t-9)(t-16)=0$, więc $x=-2,-\sqrt3,\sqrt3,2$.

d) Dla $t=x^6$: $(t-1)(t-3)=0$, więc $x=-\sqrt[6]3,-1,1,\sqrt[6]3$.

e) Dla $t=(x-2)^3$: $(t-8)(t+2)=0$, więc $x=4$ lub $x=2-\sqrt[3]2$.

f) Dla $t=x^2-x+4$: $(t-1)(t-4)=0$. Tylko $t=4$ daje rzeczywiste $x$, mianowicie $x=0,1$.

g) Dla $t=x^2+x$: $(t+1)(t+3)=0$; oba równania kwadratowe mają ujemne wyróżniki, więc brak rozwiązań.

h) Dla $t=(x-2)^2$: $(t-4)(t+3)=0$, więc $x=0,4$.

Przyrównujemy $w(x)$ do równania prostej i rozkładamy otrzymany wielomian.

a) $(x-2)^2(x+2)=0$, więc punkty to $(2,8)$ i $(-2,-8)$.

b) $(x-4)(x-1)(x+1)=0$, więc $(-1,5)$, $(1,-1)$, $(4,-10)$.

c) $x(x-1)(x^2-3x+1)=0$. Po podstawieniu argumentów do prostej otrzymujemy punkty podane w odpowiedzi.

d) $8x^4-2=0$, więc $x=\pm\frac{\sqrt2}{2}$.

e) $x(x^2-1)(x^2-5)=0$, więc $x=0,\pm1,\pm\sqrt5$.

Oznaczmy $b=t$. Wtedy $a=t-1$, $c=t+1$, a $a+b+c=3t$. Równanie przyjmuje postać

$$(t-1)^3+t^3+(t+1)^3=\left(\frac{3t}{2}\right)^3.$$

Lewa strona to $3t^3+6t$. Po pomnożeniu przez $8$: $24t^3+48t=27t^3,$ czyli $3t(t^2-16)=0$. Stąd $t=0,-4,4$.

Przenosimy prawą stronę i wyłączamy wspólny czynnik:

$$(x-3)(x^2-3x+2)=0$$ $$(x-3)(x-1)(x-2)=0.$$

Pierwiastki to $1,2,3$. Ich suma wynosi $1+2+3=6$, a iloczyn $1\cdot2\cdot3=6$, więc są równe.

a) Ze skanu odczytujemy wspólny punkt na osi $OY$: $f(0)=g(0)=3$, więc $b=3$. Wykres $f$ przecina oś $OX$ w $x=1$, zatem $f(1)=1+(3-a)-3+3=4-a=0,$ czyli $a=4$.

b) $f=x^3-x^2-3x+3=(x-1)(x^2-3),$ więc miejsca zerowe to $-\sqrt3,1,\sqrt3$.

c) $f-g=x^3-x^2-2x=x(x-2)(x+1),$ więc $x=-1,0,2$.

Rozkładamy wielomiany. $u=\frac1{16}(x-2)(x+2)(x^2+4),$ więc zera to $-2,2$; jest to parzysty wykres II.

$v=\frac14x(x+2)(x-4),$ więc zera to $-2,0,4$; jest to wykres III.

$w=\frac1{27}x(x-1)(x+3)(x^2-3x+9),$ a ostatni czynnik nie ma rzeczywistych zer. Miejsca zerowe to $-3,0,1$; jest to wykres I.