MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 62

Wyłączamy wspólną potęgę $x$ i stosujemy różnicę kwadratów.

a) $w=0{,}01x(x-\sqrt{10})(x+\sqrt{10})(x^2+10)$, więc $x=-\sqrt{10},0,\sqrt{10}$.

b) $w=x(x-3)^2$, więc $x=0,3$.

c) $w=x^2(x+5)(x-1)$, więc $x=-5,0,1$.

d) $w=(x+6)(x-1)x(x+5)$, więc $x=-6,-5,0,1$.

e) $w=-8x^2(2x-1)(2x+1)$, więc $x=-\frac12,0,\frac12$.

f) $w=x^2(\sqrt5x-1)^2(\sqrt5x+1)^2$, więc $x=-\frac{\sqrt5}{5},0,\frac{\sqrt5}{5}$.

Rozkładamy przez grupowanie: $w=x^2(x-7)+2(x-7)=(x-7)(x^2+2).$

a) Czynnik $x^2+2$ jest dodatni dla każdego rzeczywistego $x$, więc jedynym pierwiastkiem jest $x=7$.

b) Dla $x=4-\sqrt6$:

Jest to liczba całkowita.

Przenosimy wszystko na jedną stronę, wyłączamy najniższą potęgę $x$ i rozkładamy pozostały czynnik.

a) $2x^3(4x^2-1)=0$, więc $x=-\frac12,0,\frac12$.

b) $x(x^2-3)(x^2+3)=0$, więc $x=-\sqrt3,0,\sqrt3$.

c) $\frac38x^2(x^3-8)=0$, więc $x=0,2$.

d) $x(x-6)(x+1)=0$, więc $x=-1,0,6$.

e) $x^2(x^2-8x+6)=0$, więc $x=0,4-\sqrt{10},4+\sqrt{10}$.

f) $x^2(x-1)(x-4)=0$, więc $x=0,1,4$.

Po przeniesieniu wyrazów grupujemy tak, aby otrzymać wspólny czynnik.

a) $(x-5)(x^2+2)=0$, więc $x=5$.

b) $(5x-1)(x^2-2)=0$, więc $x=-\sqrt2,\frac15,\sqrt2$.

c) $(x-1)(x-2)(x^2+2x+4)=0$, więc $x=1,2$.

d) $\frac13(3x-1)^2(9x^2+3x+1)=0$, więc $x=\frac13$.

e) $(x-2)(x+\sqrt3)(x^2-\sqrt3x+3)=0$, więc $x=-\sqrt3,2$.

f) $\frac14(x^2-3)(2x+1)(4x^2-2x+1)=0$, więc $x=-\sqrt3,-\frac12,\sqrt3$.

g) $(5x^2-1)(x+\frac15)(x^2-\frac15x+\frac1{25})=0$, więc $x=-\frac{\sqrt5}{5},-\frac15,\frac{\sqrt5}{5}$.

h) $(x^2-4)(x^4+3)=0$, więc $x=-2,2$.

a) Rozkładamy trójmiany:

Drugi składnik jest przeciwny do pierwszego, więc lewa strona jest tożsamościowo zerowa.

b) Pierwszy iloczyn ma postać $x^2(x+2)(x+3)(x+6),$ a drugi po rozłożeniu $x^2+2x=x(x+2)$ i $x^2+3x=x(x+3)$ ma dokładnie tę samą postać. Ich różnica jest zerem dla każdego $x$.

Po rozwinięciu sześcianów i przeniesieniu prawej strony otrzymujemy $2x^3+18x^2+42x=0,$ czyli $2x(x^2+9x+21)=0.$ Trójmian ma wyróżnik $81-84=-3<0$, zatem nie ma pierwiastków rzeczywistych. Pozostaje $x=0$.

Równanie ma postać $[a(a-5)]^2=36,$ więc $a(a-5)=6$ albo $a(a-5)=-6$.

Pierwszy przypadek daje $a^2-5a-6=0$, czyli $a=-1$ lub $a=6$. Drugi daje $a^2-5a+6=0$, czyli $a=2$ lub $a=3$.

Podstawiamy $x=1$ do lewej strony:

Liczba $1$ jest pierwiastkiem dokładnie wtedy, gdy $(m+1)^3=0$, czyli $m=-1$.

Punkty wspólne mają te same argumenty $x$, więc $x^n+x-6=x^{n+2}+x-6.$ Stąd $x^n(1-x^2)=0.$ Dla każdego $n\in\mathbb N_+$ otrzymujemy trzy różne rozwiązania $x=-1,0,1$, a zatem trzy różne punkty wspólne.

Wielomian ma czynniki $x+2$ i $x-1$. Zapisujemy go jako $2(x+2)(x-1)(x-r).$ Porównanie współczynnika przy $x$ lub podstawienie danych prowadzi do $r=-\frac12$. Po wymnożeniu

Stąd $m=3$, $n=-2$.