MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 64

Suma współczynników $w$ jest równa $w(1)$. Po uporządkowaniu warunku $w(1)=0$:

Drugi czynnik jest dodatni, więc $a=-4$. Wtedy $u(x)=x^3-3x^2+5x-15=(x-3)(x^2+5).$ Trójmian $x^2+5$ nie ma pierwiastków rzeczywistych, więc jedynym pierwiastkiem $u$ jest $3$.

Z warunku $w(-3)=-6$ mamy $-27m^3+9+12=-6,$ więc $m^3=1$ i $m=1$. Zatem $w=x^3+x^2-4x$.

a) $w=x(x^2+x-4),$ więc dla osi $OX$ argumenty to $0$ i $\frac{-1\pm\sqrt{17}}2$.

b) Równanie $w(x)=4$ ma postać $x^3+x^2-4x-4=(x+1)(x-2)(x+2)=0.$ Stąd argumenty $-2,-1,2$.

Grupujemy składniki i wyłączamy wspólny czynnik.

a) $(x-2)(x^4+2x^2+1)=(x-2)(x^2+1)^2=0,$ więc $x=2$.

b) $(x-1)(x^2-2)(x^2-3)=0,$ więc $x=-\sqrt3,-\sqrt2,1,\sqrt2,\sqrt3$.

c) $(x+3)(x+1)(x-1)(2x^2-1)=0,$ więc $x=-3,-1,-\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2},1$.

d) $(x^2-1)(4x^2-1)(2x-1)=0,$ więc $x=-1,-\frac12,\frac12,1$.

Podstawiamy $x=a$, bo $a$ ma być pierwiastkiem.

a) $w(a)=3a^3-2a^2+3a-2=(a^2+1)(3a-2).$ Pierwszy czynnik jest dodatni, więc $a=\frac23$.

b) $w(a)=3a^4-4a^2+1=(3a^2-1)(a^2-1).$ Stąd $a=\pm1$ albo $a=\pm\frac{\sqrt3}{3}$.

Pierwsze równanie ma pierwiastki $\frac12$ i $2$. Podstawiamy je do $P(x)=4x^5+ax^3-32x^2+b.$ Dla $x=2$ otrzymujemy $8a+b=0$, a dla $x=\frac12$ — $a+8b=63$. Stąd $a=-1$, $b=8$.

Wtedy

$=(2x-1)(x-2)(2x+1)(x^2+2x+4).$ Ostatni trójmian nie ma rzeczywistych zer.

Rozkładamy przez grupowanie:

Pierwiastki to $1$ oraz $\pm\sqrt p$, gdy $p>0$. Ich suma zawsze wynosi $1$. Są trzy i są różne, jeśli dodatkowo $\sqrt p\ne1$, czyli $p\ne1$.

Grupujemy część wyrazów:

Następnie $x^2+4x+3=(x+1)(x+3).$ Otrzymane trzy pierwiastki są różne. Podstawienie ich liczb przeciwnych daje wskazane w treści wartości $24,4,-8$, co stanowi kontrolę rozkładu.

Pierwiastki wynikające z czynników to $x_1=6-2m,\qquad x_2=1-3m,\qquad x_3=2.$ Dodatniość wszystkich wymaga $m<\frac13$. Równości między pierwiastkami zachodzą w rozpatrywanym zakresie dla $x_1=x_2\iff m=-5,$ $x_2=x_3\iff m=-\frac13.$ Wartość dająca $x_1=x_3$ to $m=2$, ale nie spełnia już warunku dodatniości $x_2$. Wykluczamy więc $-5$ i $-\frac13$.

Rozkładamy wielomian:

Trójmian ma wyróżnik $1-4=-3<0$, więc jedynym rzeczywistym pierwiastkiem jest $a=2$. Sprawdzamy drugi warunek: $w(a+1)=w(3)=27-9-3-2=13.$

Liczymy różne pierwiastki, uwzględniając zbieżności między czynnikami.

a) Stałe pierwiastki to $6,-2,-4$, a czwarty to $2m$. Dokładnie trzy pozostają, gdy $2m$ jest jednym ze stałych: $m\in\{-2,-1,3\}$.

b) Stałe pierwiastki to $1,2$. Dla $m=0$ drugi czynnik jest liniowy i dodaje $\frac12$. Dla $m\ne0$ dokładnie jeden z dwóch pierwiastków kwadratowego czynnika pokrywa się ze stałym przy $m=\frac34$. Zatem $m\in\{0,\frac34\}$.

c) Stałe pierwiastki to $-2,1$, a z $x^2-m$ pochodzą $\pm\sqrt m$. Dokładnie trzy różne pierwiastki są dla $m=0,1,4$.

d) Trójmian $2x^2+x-m$ ma dwa różne pierwiastki dla $m>-\frac18$. Pierwiastek $-m$ pierwszego czynnika pokrywa się z jednym z nich wtedy i tylko wtedy, gdy $2m(m-1)=0,$ więc wykluczamy $m=0,1$.