MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 61

W każdym podpunkcie znajdujemy prosty pierwiastek i wyłączamy odpowiadający mu dwumian.

a) $w(1)=0$, a dzielenie przez $x-1$ daje $w=(x-1)(2x^2+x+1).$

b) $w(1)=0$, więc $w=(x-1)(x^2+5x+5)$ $=(x-1)\left(x+\frac{5-\sqrt5}{2}\right)\left(x+\frac{5+\sqrt5}{2}\right).$

c) Kolejne pierwiastki $1,2,-3$ dają $w=(x-1)(x-2)(x+3).$

d) Grupowanie prowadzi do $w=(x^2-x+1)(x^2+x-3),$ a drugi trójmian rozkładamy z jego pierwiastków.

Grupujemy składniki wielomianu $u$:

$$u=x^3(x+4)+8(x+4)=(x+4)(x^3+8).$$

Po rozłożeniu sumy sześcianów: $u=(x+2)(x+4)(x^2-2x+4).$ Wielomian $w(t)$ jest równy $u(-t)$, więc $w(t)=(2-t)(4-t)(t^2+2t+4).$

Grupujemy: $w=x^2(x-4)-(x-4)=(x-4)(x^2-1)=(x-1)(x+1)(x-4).$ Po podstawieniu $x=t^2$:

$$v=(t^2-1)(t^2+1)(t^2-4) =(t-1)(t+1)(t-2)(t+2)(t^2+1).$$

Rozkładamy licznik i mianownik:

$$n^3+2n^2-n-2=(n+2)(n^2-1)=(n+2)(n-1)(n+1),$$

$n^2+n-2=(n+2)(n-1).$ Dla $n\ge2$ skracane czynniki są niezerowe, więc wartość wyrażenia wynosi $n+1$, a zatem jest liczbą naturalną.

Jeżeli $3x+1$ jest czynnikiem, to $x=-\frac13$ jest pierwiastkiem. Podstawiamy:

$$w\left(-\frac13\right)=-\frac a{27}-\frac13=0,$$

stąd $a=-9$. Wtedy $w=-9x^3-3x^2-6x-2=(3x+1)(-3x^2-2).$

Wyrażenie $x^4+1$ jest zawsze dodatnie, a znak $x^3+x=x(x^2+1)$ jest taki jak znak $x$.

a) Dla $x\ge0$: $x^4+1+x^3+x=(x+1)(x^3+1)=(x+1)^2(x^2-x+1).$

b) Dla $x<0$: $x^4+1-x^3-x=(x-1)(x^3-1)=(x-1)^2(x^2+x+1).$

Rozkładamy $w$:

$$w=(x^2+1)(x^2-9)=(x^2+1)(x-3)(x+3).$$

Z równości $w=(x+3)u$ wynika $u=(x-3)(x^2+1)$. Z równości $w=(x^2+1)v$ wynika $v=(x-3)(x+3)$. W obu rozkładach występuje więc czynnik $x-3$.

a) Uzupełniamy kwadrat: $w=(x^2+3)^2-(3x)^2=(x^2-3x+3)(x^2+3x+3).$

b) Wyłączamy $x$ i znów stosujemy różnicę kwadratów:

$$w=x(4x^4+x^2+1) =x[(2x^2+1)^2-(\sqrt3x)^2]$$

$=x(2x^2-\sqrt3x+1)(2x^2+\sqrt3x+1).$

Rozkładamy:

$$w=x(x^4-5x^2+4)=x(x^2-1)(x^2-4) =(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2).$$

Jest to iloczyn pięciu kolejnych liczb całkowitych. Taki iloczyn jest podzielny przez $5!=120$ (iloraz jest równy odpowiedniemu całkowitemu współczynnikowi dwumianowemu).

a) Grupowanie daje

$$w=(2x+3)(4x^2-1)=(2x+3)(2x-1)(2x+1).$$

Dla całkowitego $x$ każdy z trzech czynników jest nieparzysty, więc ich iloczyn jest nieparzysty.

b) Składniki $-2x^4+2x^3-4x^2+6$ są parzyste. Pozostała część to $x^5-3x=x(x^4-3)$. Jeśli $x$ jest parzyste, iloczyn jest parzysty; jeśli $x$ jest nieparzyste, to $x^4-3$ jest parzyste. Cały wielomian jest więc zawsze parzysty.