MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 60

Rozkładamy przez grupowanie: $u=(x-2)(x^2+3),$ $v=(1-x)(x^2+5),$ $w=(x-2)^3.$ Dla $x<0$ czynniki kwadratowe są dodatnie, $x-2<0$, a $1-x>0$. Zatem $u(x)<0$, $v(x)>0$ i $w(x)<0$.

Wyłączamy najniższą potęgę $x$ i rozpoznajemy kwadraty.

a) $w=x^2(x^4+2x^2+1)=x^2(x^2+1)^2.$

b) $w=\frac15x^3(25x^4-10x^2+1)=\frac15x^3(5x^2-1)^2$ $=\frac15x^3(\sqrt5x-1)^2(\sqrt5x+1)^2.$

c) $w=x^2\left(x^2-\frac14\right)(x^2+4)=x^2\left(x-\frac12\right)\left(x+\frac12\right)(x^2+4).$

Środkowe składniki uzupełniają sześcian sumy: $k^3+m^3+3km(k+m)=(k+m)^3.$ Zatem $w=x^3+(k+m)^3.$ Stosując wzór na sumę sześcianów, otrzymujemy $w=[x+(k+m)][x^2-(k+m)x+(k+m)^2].$

Najpierw $w=x(x^3-x^2+x-1)=x(x-1)(x^2+1).$ Podstawiamy całe argumenty: $u_1=2x(2x-1)(4x^2+1),$ $u_2=x(x+1)(x^2+2x+2),$ $u_3=4(x-1)(2x-1)(2x^2-2x+1).$

a) Zamieniamy $1-3x=-(3x-1)$ i wyłączamy wskazany czynnik: $w=(3x-1)(x^2+2x+1)=(3x-1)(x+1)^2.$

b) Po zamianie $1-4x=-(4x-1)$: $w=(4x-1)(x^2-2x)=x(4x-1)(x-2).$

c) Wyłączamy $3-2x$; w nawiasie zostaje $4x^2-1$, więc $w=(3-2x)(2x-1)(2x+1).$

Grupujemy składniki tak, aby wyłączyć wspólny dwumian, a pozostałe trójmiany rozkładamy z ich pierwiastków.

a) $w=(x-1)(x+2)(2x+1)$.

b) $w=(x-2)(x+1)(x+4)$.

c) $w=(x-1)(x+1)(x-2)(2x-1)$.

d) $w=(x^2-1)(x^4-1)=(x-1)^2(x+1)^2(x^2+1).$

W każdym podpunkcie wyłączamy wspólny czynnik, a następnie stosujemy różnicę kwadratów.

a) $2(x-3)(x-2)(x-10)$.

b) $-3(x-7)(x-15)$.

c) $(3x-1)(2x-1)(2x+1)$.

d) $(3-2x)(5x+16)$.

a) Łączymy parami sześciany o sumach argumentów równych $2x-3$ i stosujemy wzór na sumę sześcianów. Po wyłączeniu wspólnego czynnika otrzymujemy $w=2(2x-3)(x^2-3x+6).$

b) Oznaczamy $A=x^2-x=x(x-1)$. Pozostałe podstawy to $x-1$ oraz $1-x^2=-(x-1)(x+1)$. Po wyłączeniu $(x-1)^3$ i uproszczeniu nawiasu: $w=-3x(x-1)^3(x+1).$