MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 59

Stosujemy wzory na sumę i różnicę sześcianów albo grupowanie.

a) $(x-2)(x^2+2x+4)$.

b) $(x+4)(x^2-4x+16)$.

c) $(x-\sqrt[3]2)(x^2+\sqrt[3]2x+\sqrt[3]4)$.

d) $(x-2\sqrt[3]2)(x^2+2\sqrt[3]2x+4\sqrt[3]4)$.

e) $(x+1)(x^2-1)=(x+1)^2(x-1)$.

f) $(x^2+1)(x-5)$.

g) $(3x-2)(x^2-2)=(3x-2)(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)$.

h) $x(x+1)(2x^2-7)=x(x+1)(\sqrt2x-\sqrt7)(\sqrt2x+\sqrt7)$.

a) Wyłączamy $2x-3$: $w=4(x-1)(2x-3),\qquad w\left(\frac72\right)=40.$

b) Różnica kwadratów daje $w=4(x+3)(\sqrt2x-1)(\sqrt2x+1),$ $w\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=6-\sqrt3.$

c) $w=(x-2)^2(x+1)(x+3),$ $w(\sqrt2-1)=10\sqrt2-2.$

d) $w=3x(3x-2)(3x+1)^2,$ $w\left(\frac{\sqrt3+1}{3}\right)=8\sqrt3+14.$

Rozkładamy każdą parę.

a) $u=(x-1)(x+1)(x^2+1)$, $v=x^2(x^2+1)$; wspólny czynnik to $x^2+1$.

b) $u=x(x-1)(x+2)$, natomiast $v=x^2-x+2$ nie ma z nim wspólnego czynnika; odpowiedź przecząca.

c) $u=(x+1)(x^2+1)$, $v=(x+1)^2(x-1)$; wspólny czynnik to $x+1$.

d) $u=(x-2)(x^2+2x+4)$, $v=x(x^2+2x+4)$; wspólny czynnik to $x^2+2x+4$.

a) $w=x^2(4-x).$ Dla dodatniej liczby naturalnej $n$ wartość jest dodatnia dokładnie, gdy $n<4$, czyli $n\in\{1,2,3\}$.

b) Grupowanie daje $w=(x^2+1)(9-2x).$ Pierwszy czynnik jest zawsze dodatni, więc dla dodatnich liczb naturalnych potrzeba $n<\frac92$. Stąd $n\in\{1,2,3,4\}$.

Najpierw $w=(x-7)(x^2-4)=(x-7)(x-2)(x+2).$ Następnie: $u_1=(x-7)(x^2+4),$ więc wspólny jest $x-7$; $u_2=(x+7)(x^2-4)=(x+7)(x-2)(x+2),$ więc wspólne są $x-2$ i $x+2$; $u_3=(x+7)(x^2+4),$ więc nie występuje żaden czynnik z rozkładu $w$.

Rozkładamy składowe i wyłączamy wspólny czynnik.

a) Po wyłączeniu $x-2$ pozostaje $x^3+4x^2+8x+8=(x+2)(x^2+2x+4)$, zatem $w=(x-2)(x+2)(x^2+2x+4).$

b) Analogicznie, po uporządkowaniu współczynnika: $w=\frac1{16}(x-2)(x+2)(x^2+2x+4).$

c) Wyłączamy $x^4$ i grupujemy: $w=x^4(x-1)(x+1)(x^2+x+1).$