MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 58

Rozkładamy: $w=x^2(x^2-3x-4)=x^2(x-4)(x+1).$ Dla $w(x)<0$ musi być $-1<x<4$ i $x\ne0$. Całkowite argumenty to $1,2,3$. Obliczamy $w(1)=-6,\qquad w(2)=-24,\qquad w(3)=-36.$ Najmniejsza z tych wartości występuje dla $x=3$.

Rozkłady są następujące: $w=x^2(x^2+x-6)=x^2(x-2)(x+3),$ $u=x^2(x-2).$ Podane wartości są niezerowe, więc możemy podzielić stronami:

Stąd $x_0=5$; sprawdzenie daje $u(5)=75$ i $w(5)=600$.

Podstawą jest $n^3-n=(n-1)n(n+1),$ czyli iloczyn trzech kolejnych liczb, podzielny przez $6$.

a) To dokładnie powyższy iloczyn.

b) $n^3+5n=(n^3-n)+6n$.

c) $n^3+77n=(n^3-n)+78n$.

d) $n^3-25n=(n^3-n)-24n$.

Każdy dodatkowy składnik jest wielokrotnością $6$, więc wszystkie cztery liczby są podzielne przez $6$.

Oznaczmy $A=2p-1$ i $B=3p+11$. Czynnik $x^2+C$ rozkłada się na czynniki liniowe nad $\mathbb R$ dokładnie dla $C\le0$.

a) Oba czynniki się rozkładają, gdy $A\le0$ i $B\le0$, czyli $p\le-\frac{11}{3}$.

b) Dokładnie jeden się rozkłada, gdy $A\le0<B$, czyli $-\frac{11}{3}<p\le\frac12$.

c) Iloczyn jest kwadratem tego samego trójmianu, gdy $A=B$. Stąd $2p-1=3p+11$, więc $p=-12$.

Porównujemy ze wzorem $(x^2+bx+c)^2=x^4+2bx^3+(b^2+2c)x^2+2bcx+c^2$.

a) Otrzymujemy $b=-1$, $c=2$, zatem $w=(x^2-x+2)^2.$ Wyróżnik trójmianu jest ujemny, więc nie ma rozkładu liniowego nad $\mathbb R$.

b) Otrzymujemy $b=-3$, $c=-10$, czyli $u=(x^2-3x-10)^2=[(x-5)(x+2)]^2=(x-5)^2(x+2)^2.$

Ze skanu odczytujemy $P=(-1,-1)$ i $Q=(0,0)$. Warunki $f(-1)=-1$ i $f(0)=0$ dają $(1-a)^2-b=-1,\qquad a^2-b=0.$ Po odjęciu równań otrzymujemy $1-2a=-1$, więc $a=1$, $b=1$.

Wtedy $f=(x^2-1)^2-1=x^4-2x^2=x^2(x-\sqrt2)(x+\sqrt2),$ $g=f+x^3=x^2(x^2+x-2)=x^2(x-1)(x+2).$

Aby wielomian miał stopień $4$, współczynnik przy $x^5$ musi zniknąć, więc $a+1=0$ i $a=-1$. Wówczas $w=(b-1)x^4+(b-2)x^3-10x^2+b-3.$ Różnica $w(-1)-w(1)$ pochodzi tylko od składnika nieparzystego: $-2(b-2)=-2,$ stąd $b=3$. Otrzymujemy $w=2x^4+x^3-10x^2=x^2(2x^2+x-10)=x^2(2x+5)(x-2).$