MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 57

Wycięcie kwadratu o boku $x$ z każdego naroża usuwa łącznie pole $4x^2$, więc pole figury wynosi $100-4x^2=(10-2x)(10+2x).$ Przy każdym narożu znikają dwa odcinki długości $x$, ale pojawiają się dwa nowe odcinki tej samej długości. Obwód figury pozostaje równy $40$. Prostokąt o bokach $10-2x$ i $10+2x$ ma ten sam iloczyn oraz obwód $2[(10-2x)+(10+2x)]=40.$ Założenie $0<x<5$ gwarantuje dodatniość boków.

Rozkładamy wielomian: $w(x)=6x(4x^2-9)=6x(2x-3)(2x+3).$ Ponieważ $4x+6=2(2x+3)$, mamy $w=x(4x+6)(6x-9).$ Ponieważ $6-4x=-2(2x-3)$, mamy również $w=x(6-4x)(-6x-9).$ Oba brakujące czynniki są wielomianami stopnia pierwszego.

Stosujemy różnicę kwadratów:

Rozkładamy oba trójmiany:

Dla $n\in\mathbb N_+$ są to cztery kolejne liczby naturalne.

a) $n^4-2n^3+n^2=n^2(n-1)^2=[n(n-1)]^2.$ Iloczyn kolejnych liczb $n(n-1)$ jest parzysty, więc jego kwadrat jest podzielny przez $4$.

b) $n^3+3n^2+2n=n(n+1)(n+2).$ Wśród trzech kolejnych liczb jedna jest podzielna przez $3$, a co najmniej jedna przez $2$, więc iloczyn jest podzielny przez $6$.

Rozkładamy licznik i mianownik:

Dla $n\in\mathbb N_+$ wspólne, niezerowe czynniki to $n$ oraz $n+8$. Odpowiadające im liczby różnią się o $8$, więc przez każdą z nich można skrócić ułamek.

Najpierw stosujemy różnicę kwadratów:

Oba trójmiany mają wyróżnik $p^2+4>0$. Oznaczając $D=\sqrt{p^2+4}$, dostajemy

Są to cztery czynniki stopnia pierwszego dla każdego rzeczywistego $p$.

Iloczyn dwóch znanych czynników to $(x-2)(x-3)=x^2-5x+6.$ Ponieważ współczynnik wiodący wielomianu wynosi $5$, szukamy czynnika $5x+c$. Wyraz wolny spełnia $6c=-6$, więc $c=-1$. Sprawdzenie mnożeniem daje

Pole powierzchni prostopadłościanu wynosi

Porównujemy z $(ax+b)(x+c)=ax^2+(ac+b)x+bc.$ Stąd $a=6$, $ac+b=32$, $bc=10$. Po podstawieniu $b=10/c$ otrzymujemy $3c^2-16c+5=0,$ więc $c=5$ lub $c=\frac13$. Odpowiednie wartości $b$ to $2$ i $30$.

Niech większa liczba będzie równa $a$, mniejsza $b$. Ich średnia to $\frac{a+b}{2}$. Ponieważ liczby mają tę samą parzystość, średnia jest liczbą naturalną. Ponadto

co jest liczbą całkowitą. Różnica czwartych potęg jest zatem podzielna przez tę średnią.

Korzystamy kolejno z różnicy kwadratów oraz sumy i różnicy sześcianów:

Pierwszy czynnik jest równy $10(23^2+23\cdot13+13^2)=10\cdot997.$ Drugi wynosi $36(23^2-23\cdot13+13^2)=36\cdot399=36\cdot3\cdot7\cdot19.$ Po zebraniu czynników pierwszych otrzymujemy $2^3\cdot3^3\cdot5\cdot7\cdot19\cdot997.$

Rozkładamy trójmian: $w=x(x^2+10x+16)=x(x+2)(x+8).$ Ponieważ $p<q$, mamy $p=2$, $q=8$. Zatem $u=x(x^2-2x-8)=x(x+2)(x-4).$