MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 56

Najpierw wyłączamy największy wspólny czynnik, a potem stosujemy różnicę kwadratów.

a) $9x^3-x=x(9x^2-1)=x(3x-1)(3x+1)$.

b) $50x^4-8x^2=2x^2(25x^2-4)=2x^2(5x-2)(5x+2)$.

c) $12x^3-27x^5=-3x^3(9x^2-4)=-3x^3(3x-2)(3x+2)$.

Rozkładamy wspólny czynnik $x$: $w_1=x(x^2+x+4),\quad w_2=x^2(x-10),\quad w_3=x(x^2-10).$ Trójmian w $w_1$ ma wyróżnik $1-16<0$, więc nie rozkłada się na czynniki liniowe nad $\mathbb R$. Natomiast $w_2=x\cdot x\cdot(x-10),$ $w_3=x(x-\sqrt{10})(x+\sqrt{10}).$

Mamy $w_1=x^2(x-1)^2,$ $w_2=x(x^3+1)=x(x+1)(x^2-x+1),$ $w_4=(4x^2-1)(4x^2+1)=(2x-1)(2x+1)(4x^2+1).$ Natomiast $w_3=x^4+5x^2+6=(x^2+2)(x^2+3),$ a oba czynniki są dodatnie dla każdego rzeczywistego $x$, więc żaden nie ma czynnika liniowego nad $\mathbb R$.

W każdym podpunkcie zapisujemy wyrażenie jako różnicę kwadratów.

a) $(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$.

b) $(x^2-2\sqrt2x+4)(x^2+2\sqrt2x+4)$.

c) Ponieważ $m\ge0$: $(x^2-\sqrt{2m}x+m)(x^2+\sqrt{2m}x+m).$

d) Ponieważ $m\le0$, liczba $\sqrt{-m}$ jest rzeczywista i otrzymujemy $(x^2-2\sqrt{-m}x+2m)(x^2+2\sqrt{-m}x+2m).$

Najpierw stosujemy $x^4-A^2=(x^2-A)(x^2+A)$, a następnie rozkładamy czynnik będący różnicą kwadratów.

a) $(x-2)(x+2)(x^2+4)$.

b) $(x-\sqrt{2\sqrt2})(x+\sqrt{2\sqrt2})(x^2+2\sqrt2)$.

c) $(x-\sqrt2)(x+\sqrt2)(x^2+2)$.

d) $(x-\sqrt[4]2)(x+\sqrt[4]2)(x^2+\sqrt2)$.

a) Różnica kwadratów daje $[(2x-1)^2-x][(2x-1)^2+x]=(x-1)(4x-1)(4x^2-3x+1).$

b) Różnica czwartych potęg daje $-5(x+3)(3x-1)(x^2+1).$

c) $w=(x^2-x)^2-1=(x^2-x-1)(x^2-x+1),$ a pierwszy trójmian rozkłada się według swoich pierwiastków.

d) Zapisujemy $w=x^4-(x-3)^2=(x^2+x-3)(x^2-x+3)$ i rozkładamy pierwszy trójmian.

a) $s=\frac{u+w}{2}=x^3+5x^2+4x=x(x^2+5x+4)=x(x+1)(x+4).$

b) $s=\frac{u+v+w}{3}=x^3-9x=x(x^2-9)=x(x-3)(x+3).$

Najpierw $w(x)=x(x^2+2x-3)=x(x-1)(x+3).$ Następnie podstawiamy cały argument do otrzymanego iloczynu: $v_1(x)=w(2x)=2x(2x-1)(2x+3),$ $v_2(x)=w(x+1)=x(x+1)(x+4),$ $v_3(x)=w(x+3)=(x+3)(x+2)(x+6).$

Z warunków wartości otrzymujemy $w(1)=-2k+2m-4=-24,$ $w(-1)=-6k-2m+10=-26.$ Pierwsze równanie daje $m=k-10$, a drugie $3k+m=18$. Stąd $k=7$, $m=-3$. Po podstawieniu współczynników $w(x)=x^3-25x^2=x^2(x-25).$