MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 55

Wyłączamy wspólny czynnik przed potęgowaniem: $p^4-pq^3=p(p^3-q^3),\qquad p^3q-q^4=q(p^3-q^3).$ Zatem lewa strona jest równa

Ponieważ $(p^3+q^3)(p^3-q^3)=p^6-q^6$, otrzymujemy

czyli prawą stronę tezy.

Korzystamy ze wzorów na sumę i różnicę sześcianów. Układ jest równoważny $x^3+y^3=\frac13,\qquad x^3-y^3=\frac7{27}.$ Po dodaniu równań: $2x^3=\frac{16}{27},\qquad x^3=\frac8{27},\qquad x=\frac23.$ Następnie $y^3=\frac13-\frac8{27}=\frac1{27}$, więc $y=\frac13$.

Żądana suma sześcianów, zgodna z czynnikiem $2a+3b$, ma postać $(2a)^3+(3b)^3=(2a+3b)(4a^2-6ab+9b^2).$ Porównanie pierwszego czynnika kwadratowego z $ka^2+mab+9b^2$ daje bezpośrednio $k=4,\qquad m=-6.$

Rozpoznajemy sześciany dwumianów: $x^3+6x^2+12x+8=(x+2)^3,$ $x^3+3x^2+3x+1=(x+1)^3.$ Dla liczb rzeczywistych pierwiastek sześcienny odwraca potęgowanie, więc wyrażenie ma wartość $x+2-(x+1)=1$ niezależnie od $x$.

Trzy liczby to $x-1,x,x+1$. Ich średnia sześcianów wynosi

Po odjęciu $x^3$ pozostaje $2x$.

Korzystamy z tożsamości $x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y).$ Po podstawieniu danych: $370=10^3-30xy.$ Stąd $30xy=630$, czyli $xy=21$.

Dla kolejnych liczb $n$ i $n+1$ różnica sześcianów jest równa

Iloczyn dwóch kolejnych liczb $n(n+1)$ jest parzysty. Zatem $3n(n+1)$ jest podzielne zarówno przez $3$, jak i przez $6$. Po dodaniu $1$ reszta z dzielenia przez każdą z tych liczb wynosi $1$.

a) Z $p+q=1$ mamy $p^3+q^3=(p+q)(p^2-pq+q^2)=p^2+q^2-pq.$ Po przestawieniu otrzymujemy $pq=(p^2+q^2)-(p^3+q^3)$.

b) Z $p-q=1$ wynika $p^3-q^3=(p-q)(p^2+pq+q^2)=p^2+pq+q^2.$ Zatem

Podstawiamy wzór wielomianu we wskazane miejsce i rozwijamy potęgi.

a) $p(q(x))=2(3x^2-1)^3-(3x^2-1)=54x^6-54x^4+15x^2-1$.

b) $q(p(x))=3(2x^3-x)^2-1=12x^6-12x^4+3x^2-1$.

c) $q(q(x))=3(3x^2-1)^2-1=27x^4-18x^2+2$.

d) $p(p(x))=2(2x^3-x)^3-(2x^3-x)=16x^9-24x^7+12x^5-4x^3+x$.

Dla $n\ge1$ rozwijamy:

W zapisie obejmującym pozycje od $10^{3n}$ do $10^0$ są cztery niezerowe cyfry: $1,3,3,1$. Łącznie jest $3n+1$ cyfr, więc zer jest $(3n+1)-4=3n-3$. Dla $n=0$ otrzymujemy $2^3=8$, czyli zero zer.

Niech $w(x)=(ux+v)^3$. Porównanie współczynników daje między innymi $6a=3u^2v,\qquad 3a=3uv^2,\qquad a-1=v^3.$ Przypadek $a=0$ nie spełnia wszystkich równań. Dla $a\ne0$ iloraz dwóch pierwszych równań daje $u=2v$. Wtedy $a=uv^2=2v^3=2(a-1)$, więc $a=2$. Rzeczywiście $w(x)=8x^3+12x^2+6x+1=(2x+1)^3.$