MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 54

Mnożymy prawą stronę przez zastosowanie rozdzielności:

$$(a-b)(a^5+a^4b+a^3b^2+a^2b^3+ab^4+b^5).$$

Składniki pośrednie skracają się parami: $a^6+a^5b+\cdots+ab^5-(a^5b+a^4b^2+\cdots+b^6)=a^6-b^6.$ Otrzymaliśmy lewą stronę, więc tożsamość jest prawdziwa.

Obliczamy najpierw

$$(\sqrt2-1)^3=5\sqrt2-7,qquad (\sqrt2+1)^3=5\sqrt2+7.$$

a) Różnica wynosi $-14$, więc jej sześcian to $-2744$.

b) Suma wynosi $10\sqrt2$, zatem $(10\sqrt2)^3=2000\sqrt2$.

c) Różnica w odwrotnej kolejności wynosi $14$, więc wynik to $2744$.

Dla $a\ne0$ rozwijamy licznik:

$$\frac{(a+b)^3+(a-b)^3}{2a} =\frac{2a^3+6ab^2}{2a}=a^2+3b^2.$$

Wystarczy więc wybrać niezerowe $a$ i $b$ spełniające $a^2+3b^2=40$. Na przykład dla $a=4$ i $b=2\sqrt2$ mamy $16+3\cdot8=40$.

Rozwijamy sześciany i kwadraty, po czym redukujemy te same składniki po obu stronach.

a) Otrzymujemy $12x^2+48x+64=12x^2+36x+27$, więc $12x=-37$ i $x=-\frac{37}{12}$.

b) Otrzymujemy $-18x^2+108x-216=-18x^2+72x-72$, więc $36x=144$ i $x=4$.

c) Obie strony mają składniki $24x^2+192x$, lecz wyrazy wolne byłyby odpowiednio $512$ i $384$. Równość jest niemożliwa.

a) Licznik po redukcji jest równy $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$. Ułamek ma więc wartość $1$ przy założeniu $x\ne-y$.

b) Licznik jest równy $k^3-m^3=(k-m)(k^2+km+m^2)$. Wynik to $1$ przy założeniu $k\ne m$.

c)

$$(a+b)^3-(a+b)(a^2-ab+b^2)=3ab(a+b),$$

a mianownik to $(a+b)^2$. Po skróceniu otrzymujemy $\frac{3ab}{a+b}$ przy $a\ne-b$.

Dla dowolnego $t$ zachodzi

$$(t+1)^3-(t-1)^3=6t^2+2.$$

Po podstawieniu $t=\sqrt{85}$ wyrażenie pod pierwiastkiem wynosi $6\cdot85+2=512=8^3.$ Jego pierwiastek sześcienny jest więc równy $8$, czyli jest liczbą wymierną.

a) $(\sqrt5+2)^3=38+17\sqrt5$, więc po podniesieniu do kwadratu: $2889+1292\sqrt5.$

b) $(\sqrt3-\sqrt2)^3=9\sqrt3-11\sqrt2$, zatem kwadrat jest równy $485-198\sqrt6.$

c) $(1+\sqrt2)^3=7+5\sqrt2$. Podnosząc ten wynik do sześcianu, otrzymujemy $1393+985\sqrt2.$

Stosujemy wzór $x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+\cdots+x+1)$, a w podpunktach d–f grupujemy potęgi odpowiednio po $x^2$, $x^3$ i $x^4$.

a) $x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$, $x\ne1$.

b) $x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$, $x\ne1$.

c) $x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$, $x\ne1$.

d) $x^6+x^4+x^2+1$, $x\ne-1,1$.

e) $x^9+x^6+x^3+1$, $x\ne1$.

f) $x^8+x^4+1$, $x\ne-1,1$.

a) Przenosimy różnicę sześcianów z lewej strony na prawą. Ponieważ

$$(2x-1)^3-(2x+1)^3=-24x^2-2,$$ $$(x-1)^3-(x+1)^3=-6x^2-2,$$

otrzymujemy $w(x)=18x^2$.

b) Oznaczmy $y=3x-2$. Wtedy lewa strona to $(y+1)(y-1)(y-3)=y^3-3y^2-y+3.$ Po odjęciu $y^3$ i powrocie do $x$ dostajemy $w(x)=-3(3x-2)^2-(3x-2)+3=-27x^2+33x-7.$