MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 53

Korzystamy ze wzoru $(a\pm b)^3=a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$ i porządkujemy potęgi.

a) $(x+3)^3=x^3+9x^2+27x+27$.

b) $(2x-4)^3=8x^3-48x^2+96x-64$.

c) $\left(5+\frac13x\right)^3=\frac1{27}x^3+\frac53x^2+25x+125$.

d) $(4x-3y)^3=64x^3-144x^2y+108xy^2-27y^3$.

e) Po uwzględnieniu $(\sqrt[3]3)^3=3$ i $(\sqrt[3]9)^3=9$ otrzymujemy $3x^3+9\sqrt[3]3x^2+9\sqrt[3]9x+9.$

f) $(-4x-10)^3=-64x^3-480x^2-1200x-1000$.

Stosujemy $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$ oraz $A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$.

a) $(a-4)(a^2+4a+16)$.

b) $(2t+1)(4t^2-2t+1)$.

c) $(3x-10)(9x^2+30x+100)$.

d) $\left(1+\frac34x\right)\left(1-\frac34x+\frac9{16}x^2\right)$.

e) $\left(\frac32x-\frac14y\right)\left(\frac94x^2+\frac38xy+\frac1{16}y^2\right)$.

f) $(0{,}1k+0{,}2m)(0{,}01k^2-0{,}02km+0{,}04m^2)$.

g) $(\sqrt[3]4-2x)(2\sqrt[3]2+2\sqrt[3]4x+4x^2)$.

h) $(\sqrt[3]{5x}+\sqrt[3]{7y})(\sqrt[3]{25x^2}-\sqrt[3]{35xy}+\sqrt[3]{49y^2})$.

Każdy iloczyn ma postać $(A-B)(A^2+AB+B^2)=A^3-B^3$ albo $(A+B)(A^2-AB+B^2)=A^3+B^3$.

a) $x^3-4^3=x^3-64$.

b) $(5x)^3+3^3=125x^3+27$.

c) $(6x)^3-(2y)^3=216x^3-8y^3$.

d) $(10x)^3+\left(\frac15y\right)^3=1000x^3+\frac1{125}y^3$.

e) $(0{,}1x)^3-(0{,}7y)^3=0{,}001x^3-0{,}343y^3$.

f) $(\sqrt[3]2x)^3+(\sqrt[3]4y)^3=2x^3+4y^3$.

g) $(3x^2)^3-(2y^2)^3=27x^6-8y^6$.

Podstawiamy jednomiany do wzoru na sześcian sumy lub różnicy.

a) $x^6+3x^4+3x^2+1$.

b) $x^{15}+3x^{13}+3x^{11}+x^9$.

c) $x^{18}-3x^{14}+3x^{10}-x^6$.

d) $x^{30}+3x^{29}+3x^{28}+x^{27}$.

e) $x^{99}-3x^{132}+3x^{165}-x^{198}$.

f) $x^{300}-3x^{210}+3x^{120}-x^{30}$.

Ze skanu wynika, że krawędzie usuniętego prostopadłościanu mają długości $x-2$, $x-1$ i $x-3$: oznaczone liczby są szerokościami pozostawionych pasów. Zatem

$$V(x)=x^3-(x-2)(x-1)(x-3).$$

Ponieważ $(x-2)(x-1)(x-3)=x^3-6x^2+11x-6$, otrzymujemy $V(x)=6x^2-11x+6.$

Przenosimy $x^3\pm y^3$ na prawą stronę i rozwijamy sześcian dwumianu.

a) $w=(x+y)^3-x^3-y^3=3x^2y+3xy^2$.

b) $w=(x-y)^3-x^3+y^3=-3x^2y+3xy^2$.

c) $w=(x-y)^3-x^3-y^3=-3x^2y+3xy^2-2y^3$.

d) $w=(x+y)^3-x^3+y^3=3x^2y+3xy^2+2y^3$.

Rozwijamy lewą stronę:

$$4(n+1)^3-3(2n+1)^2 =4n^3+12n^2+12n+4-12n^2-12n-3 =4n^3+1.$$

Równość z $4n^3+p$ dla każdego $n$ zachodzi więc dokładnie dla $p=1$.