MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 52

Po wymnożeniu i redukcji otrzymujemy $h(x)=-2a(a-1)x^5-3ax^3+(2a^2+1)x^2-x+a.$ Wielomian nie może być stopnia zerowego, ponieważ współczynnik przy $x$ jest równy $-1$. Aby miał parzysty stopień, musi więc mieć stopień $2$. Trzeba wyzerować współczynniki przy $x^5$ i $x^3$: $-2a(a-1)=0,\qquad -3a=0.$ Wspólnym rozwiązaniem jest $a=0$, a wtedy $h(x)=x^2-x$ rzeczywiście ma stopień $2$.

a) $w(x)=(a-1)x^3-a^2x^2+x.$ Współczynnik sześcienny jest niezerowy dokładnie dla $a\ne1$.

b) $w(x)=(a-2a^2)x^4-ax^3+2ax^2+x+1.$ Stopień jest równy $3$, gdy $a-2a^2=0$ i jednocześnie $-a\ne0$. Z rozkładu $a(1-2a)=0$ pozostaje $a=\frac12$.

a) Szukamy dwóch liczb o iloczynie $-42$ i sumie $1$: są to $-6$ i $7$. Zatem $w(x)=(x-6)(x+7).$

b) Dla dowolnego $a\ne0$ można przyjąć $u_a(x)=\frac1a(x-6),\qquad v_a(x)=a(x+7).$ Wtedy $u_av_a=w$, a różne dodatnie wartości $a$ dają różne pary dwumianów. Takich wartości jest nieskończenie wiele.

Po rozwinięciu

Aby zniknęły wszystkie składniki zawierające $x$, musi być $2-p=0$ oraz $3-p-q=0$. Stąd $p=2$, $q=1$. Pozostaje wtedy $w(y)=-3y^2-2y.$

Po rozwinięciu obu stron wystarczy porównać współczynniki przy $x^3$ i $x^2$: $p+1=2q,\qquad p+2=q^2+2.$ Zatem $p=q^2$ oraz $q^2+1=2q$, czyli $(q-1)^2=0$. Otrzymujemy $q=1$ i $p=1$. Bezpośrednie podstawienie daje po obu stronach $(x^2+x+1)^2$.

Rozwijamy wielomiany i porównujemy współczynniki.

a) $u=x^4+4x^3-6x^2+x,$ stąd $m=1$, $n=4$.

b) $u=-5x^6-4x^4+x^2+6x+5,$ natomiast $w=-mx^6-nx^4+x^2+6x+5$. Zatem $m=5$, $n=-4$.

c) $u=2x^7-x^5+2(1-m)x^3+(m-1)x,$ $w=mx^7-(m+n)x^3+nx.$ Porównanie współczynników daje $m=2$ i $n=1$; pozostałe współczynniki również się wtedy zgadzają.

Z warunku $f(1)=2$ mamy $1+2+a=2$, więc $a=-1$ i $f(x)=x^3+2x^2-1.$ Warunek $g(2)=2$ daje $4b+c=8$. Ponieważ $f(3)=44$ i $w(3)=\frac12f(3)g(3)=440$, mamy $g(3)=20$, czyli $9b+c=18$. Stąd $b=2$, $c=0$.

Teraz $g(x)=2x^3-4x^2+2$, a więc $w(x)=\frac12f(x)g(x)=x^6-4x^4+4x^2-1.$

Ze skanu odczytujemy $P=(-1,4)$ i $Q=(2,-2)$. Dla ogólnej postaci $r(x)=(x^2+ax+3)(bx+1)$ warunki $r(-1)=4$ i $r(2)=-2$ prowadzą do dwóch możliwych par parametrów. Dla pierwszej otrzymujemy $a=-4$, $b=\frac12$, a dla drugiej $a=\frac32$, $b=-\frac35$. Po wymnożeniu: $f(x)=\frac12x^3-x^2-\frac52x+3,$ $g(x)=-\frac35x^3+\frac1{10}x^2-\frac3{10}x+3.$ Oba wielomiany przechodzą przez punkty $P$ i $Q$, zgodnie z wykresem.