MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 51

Najwyższy składnik $x^6$ może powstać przez pomnożenie $x^3$ przez $u(x)$ albo $x^2$ przez $v(x)$. Sprawdzamy ustawienie zgodne także z pozostałymi potęgami:

Po uporządkowaniu jest to dokładnie $x^6+x^5+2x^4+x^3-x^2$, więc $A=u$, $B=w$, $C=v$.

Rozwijamy iloczyn: $w(x)=p^2x^3+p^3x^2-x-p.$ Jeżeli $p\ne0$, współczynnik przy $x^3$ jest niezerowy, więc stopień wynosi $3$. Dla $p=0$ dostajemy $w(x)=-x$, czyli wielomian stopnia $1$. Współczynnik przy $x$ zawsze wynosi $-1$, dlatego stopień nie może być ani $2$, ani $0$.

Równość $wt=u+t$ jest równoważna $(w-1)t=u$. Ponieważ

lewa strona ma wyraz wolny równy $0$. Wielomian $u$ ma natomiast wyraz wolny $-10$. Równość wielomianów jest więc niemożliwa dla każdych $a,b$.

Po wymnożeniu $w(x)=4px^2+(p^2-4)x-p.$ Porównanie z $8x^2-2$ daje $4p=8,\qquad p^2-4=0,\qquad -p=-2.$ Wszystkie trzy warunki spełnia $p=2$.

Rozwijamy iloczyn: $w(x)=2pqx^2+(2pq^2-3q)x-3q^2.$ Z wyrazu wolnego $-3q^2=-3$ mamy $q=1$ albo $q=-1$. Dla $q=1$ warunek $2pq=8$ daje $p=4$, lecz współczynnik liniowy wynosi wtedy $5$, nie $-5$. Dla $q=-1$ dostajemy $p=-4$, a współczynnik liniowy to $-8+3=-5$.

a) Po uporządkowaniu $w(x)=(a+1)x^3+a^2x^2+2ax-3.$ Ma stopień $3$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a+1\ne0$.

b) $w(x)=(a-2)x^5+2a^2x^4-7ax^2+3.$ Aby stopień był równy $4$, trzeba i wystarczy przyjąć $a=2$; wtedy współczynnik przy $x^4$ wynosi $8$.

c) $w(x)=(a^3-1)x^3+(2a^2+a+1)x^2-ax-2.$ Stopień jest równy $2$ dla $a=1$, bo znika składnik sześcienny, a współczynnik kwadratowy wynosi $4$.

Dla $x=-1$ mamy $f(-1)=1-a$, $g(-1)=a+2$, $h(-1)=-a-5$.

a) $w(-1)=(a+2)[(1-a)+(-a-5)]=-2(a+2)^2.$ Warunek $w(-1)=-8$ daje $(a+2)^2=4$, więc $a=-4$ albo $a=0$.

b) $w(-1)=(1-a)(a+2)(-a-5)-a^3-1=6a^2+3a-11.$ Stąd $6a^2+3a-11=-8$, czyli $3(2a-1)(a+1)=0.$