MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 50

W każdym podpunkcie bok kwadratu jest średnią arytmetyczną boków prostokąta. Dla liczb $r-d$, $r+d$ zachodzi $r^2-(r-d)(r+d)=d^2>0,$ więc pole kwadratu jest większe.

a) $r=x+6$, $d=2$, zatem różnica pól wynosi $4$.

b) $r=2x+8$, $d=2$, zatem różnica pól wynosi $4$.

c) $r=3x-5$, $d=4$, zatem różnica pól wynosi $16$.

Podane założenia gwarantują dodatniość wszystkich długości.

Pole powierzchni prostopadłościanu jest równe

Pole sześcianu wynosi $6x^2$. Równość pól daje $6x^2+x-2=6x^2,\qquad x=2,$ co spełnia założenie $x>1$.

Po dodaniu ramy z każdej strony wymiary zewnętrzne wynoszą $(x+2)\ \mathrm{dm}$ i $(y+2)\ \mathrm{dm}$. Przyrost pola to

Z obwodu obrazu mamy $2x+2y=60$, zatem przyrost pola jest równy $60+4=64\ \mathrm{dm}^2.$

Dla każdej liczby całkowitej $k\in\{1,\ldots,10\}$ w iloczynie $w(k)$ występuje czynnik $k-k=0$. Zatem $w(k)=0$ dla wszystkich dziesięciu argumentów i każdy składnik podanej sumy jest zerem. Rozwijanie iloczynu nie jest potrzebne.

Po rozwinięciu obu wielomianów otrzymujemy

Porównujemy współczynniki z $5x^3+3$: $p-q-3=0,\qquad 3-p-q=0,\qquad p+q=3.$ Dwa ostatnie równania są równoważne, a z pierwszego i $p+q=3$ dostajemy $p=3$, $q=0$.

Suma współczynników wielomianu $r$ jest równa $r(1)$. Zatem $w(1)=a$ i $u(1)=b$. Dla sumy i iloczynu mamy odpowiednio