MATeMAtyka 2. Zbiór zadań, strona 49 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Mnożymy każdy składnik jednego czynnika przez drugi czynnik i redukujemy wyrazy podobne.

a) $w(x)=6x^5+3x^4-15x^3+21x^2.$

b) $w(x)=3x^4-5x^3-12x^2-2x+6.$

c) $w(x)=2x^4+4x^2-12-x^6-2x^4+6x^2=-x^6+10x^2-12.$

d) $w(x)=3x^5-x^4-6x^3+5x^2-6.$

e) Traktując pierwsze dwa składniki jako różnicę kwadratów, $w(x)=(2x^3+1-x)(2x^3+1+x)=(2x^3+1)^2-x^2=4x^6+4x^3-x^2+1.$

f) Po wymnożeniu i redukcji: $w(x)=x^6-(\sqrt2+1)x^5+\sqrt2x^4+(\sqrt2-1)x^2-1.$

Odpowiedź

a) $w(x)=6x^5+3x^4-15x^3+21x^2$ , $\operatorname{st}(w)=5$ , $a_5=6$ .

b) $w(x)=3x^4-5x^3-12x^2-2x+6$ , $\operatorname{st}(w)=4$ , $a_4=3$ .

c) $w(x)=-x^6+10x^2-12$ , $\operatorname{st}(w)=6$ , $a_6=-1$ .

d) $w(x)=3x^5-x^4-6x^3+5x^2-6$ , $\operatorname{st}(w)=5$ , $a_5=3$ .

e) $w(x)=4x^6+4x^3-x^2+1$ , $\operatorname{st}(w)=6$ , $a_6=4$ .

f) $w(x)=x^6-(\sqrt2+1)x^5+\sqrt2x^4+(\sqrt2-1)x^2-1$ , $\operatorname{st}(w)=6$ , $a_6=1$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Oznaczmy $A=y^2+z^3$ . Wtedy $pq=(x+A)(x-A)=x^2-A^2=x^2-y^4-2y^2z^3-z^6.$

b) Mamy $p+q=2x$ oraz $p-q=2y^2+2z^3$ , zatem $(p+q)(p-q)=2x(2y^2+2z^3)=4xy^2+4xz^3.$

Odpowiedź

a) $x^2-y^4-2y^2z^3-z^6$ .

b) $4xy^2+4xz^3$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

W każdym podpunkcie rozwijamy iloczyn $uw$ , a osobno kwadrat $u^2$ .

a) $f=x^5-4x^4-5x^3+2x^2-10x,$ $g=2(x^3+x^2+2)-(x^2-5x)^2=-x^4+12x^3-23x^2+4.$

b) $f=-10x^7+5x^6+2x^5-11x^4-6x^3+5x^2-6,$ $g=-4x^6+4x^5-11x^4-8x^3+6x^2-10.$

c) $f=-8x^5+10x^4-10x^3+9x^2-3x+2,$ $g=-4x^6+8x^5-8x^4+8x^3+3x^2+3.$

Odpowiedź

a) $f=x^5-4x^4-5x^3+2x^2-10x$ , $g=-x^4+12x^3-23x^2+4$ .

b) $f=-10x^7+5x^6+2x^5-11x^4-6x^3+5x^2-6$ , $g=-4x^6+4x^5-11x^4-8x^3+6x^2-10$ .

c) $f=-8x^5+10x^4-10x^3+9x^2-3x+2$ , $g=-4x^6+8x^5-8x^4+8x^3+3x^2+3$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Stopień iloczynu jest sumą stopni czynników, współczynnik wiodący jest iloczynem współczynników wiodących, a wyraz wolny — iloczynem wyrazów wolnych.

a) $1+2=3$ , $a_3=1\cdot1=1$ , $a_0=(-2)(-5)=10$ .

b) $2+2=4$ , $a_4=(-1)\cdot2=-2$ , $a_0=3\cdot1=3$ .

c) $3+3=6$ , $a_6=5\cdot(-1)=-5$ , $a_0=(-1)\cdot3=-3$ .

d) $1+1+1=3$ , $a_3=1\cdot1\cdot(-1)=-1$ , $a_0=(-5)\cdot1\cdot2=-10$ .

e) $2+1+2=5$ , $a_5=4\cdot1\cdot(-1)=-4$ , $a_0=(-1)\cdot3\cdot1=-3$ .

f) $3+2+1=6$ , $a_6=1\cdot(-1)\cdot2=-2$ . Pierwszy czynnik nie ma wyrazu wolnego, więc $a_0=0$ .

Odpowiedź

a) stopień $3$ , $a_0=10$ , $a_3=1$ ; b) stopień $4$ , $a_0=3$ , $a_4=-2$ ; c) stopień $6$ , $a_0=-3$ , $a_6=-5$ ; d) stopień $3$ , $a_0=-10$ , $a_3=-1$ ; e) stopień $5$ , $a_0=-3$ , $a_5=-4$ ; f) stopień $6$ , $a_0=0$ , $a_6=-2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Łączymy czynniki tak, aby powstały wyrażenia sprzężone:

(\sqrt2x-1)(\sqrt2x+2)=2x^2+\sqrt2x-2,

(x-\sqrt2)(2x+\sqrt2)=2x^2-\sqrt2x-2.

Ich iloczyn jest różnicą kwadratów: $w(x)=(2x^2-2)^2-(\sqrt2x)^2=4x^4-10x^2+4.$ Suma współczynników to $w(1)=-2$ , więc żądanym argumentem jest $-2$ : $w(-2)=4\cdot16-10\cdot4+4=28.$

Odpowiedź

$w(x)=4x^4-10x^2+4$ , a $w(-2)=28$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Skan pokazuje wycięcie narożne przechodzące przez całą głębokość $3x+1$ . Pole przekroju pozostałej bryły jest równe $A=(4x+2)(2x+3)-(x-1)(x-2)=7x^2+19x+4.$ Wycięcie naroża zastępuje dwa fragmenty brzegu odcinkami tej samej łącznej długości, więc obwód przekroju wynosi $L=2[(4x+2)+(2x+3)]=12x+10.$ Stąd $P_c=2A+L(3x+1)=50x^2+80x+18.$ Objętość to różnica objętości prostopadłościanów:

V=(4x+2)(2x+3)(3x+1)-(x-1)(x-2)(3x+1) =21x^3+64x^2+31x+4.

Odpowiedź

$P_c(x)=50x^2+80x+18$ , $V(x)=21x^3+64x^2+31x+4$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem