MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 48

Odejmujemy od pierwszego równania dwukrotność drugiego:

$$2u(x)=x^2+1-2(x^3-x).$$

Zatem

$$u(x)=-x^3+\frac12x^2+x+\frac12.$$

Aby wyznaczyć $v$, odejmujemy pierwsze równanie od trzykrotności drugiego:

$$5v(x)=3(x^3-x)-(x^2+1).$$

Stąd

$$v(x)=\frac35x^3-\frac15x^2-\frac35x-\frac15.$$

Oznaczmy prawe strony układu przez

$$A=18xy^2-17xy,\qquad B=5xy^2-5xy+x^2y.$$

Mnożymy drugie równanie przez $4$ i odejmujemy pierwsze:

$$w(x,y)=4B-A.$$

Zatem

$$\begin{aligned} w(x,y)&=4(5xy^2-5xy+x^2y)-(18xy^2-17xy)\\ &=2xy^2-3xy+4x^2y. \end{aligned}$$

Z równania $w-v=B$ mamy $v=w-B$, więc

$$\begin{aligned} v(x,y)&=(2xy^2-3xy+4x^2y)-(5xy^2-5xy+x^2y)\\ &=-3xy^2+2xy+3x^2y. \end{aligned}$$

Warunek $u(x)=v(x)$ jest równoważny równości

$$3k(x)-4m(x)=2k(x)-5m(x),$$

czyli $k(x)+m(x)=0$. Po dodaniu danych wielomianów wszystkie składniki poza $x^2$ i wyrazem wolnym redukują się:

$$k(x)+m(x)=x^2-9.$$

Stąd

$$x^2-9=0,$$

więc $x=-3$ lub $x=3$.

Dla tych argumentów mamy $m(x)=-k(x)$, zatem wspólna wartość wynosi

$$u(x)=v(x)=7k(x).$$

Obliczamy:

$$k(-3)=-611,\qquad k(3)=703.$$

W konsekwencji

$$u(-3)=v(-3)=-4277,\qquad u(3)=v(3)=4921.$$

Dodajemy wielomiany:

$$w(x)=(m^2-4)x^3+(3|m|-6)x^2+(m+2)x-m-1.$$

Aby stopień był mniejszy niż $3$, musi zachodzić $m^2-4=0$, czyli $m\in\{-2,2\}$.

a) Dla obu tych wartości $3|m|-6=0$, więc składnik kwadratowy również znika. Wielomianu stopnia drugiego nie otrzymujemy.

b) Dla $m=2$ współczynnik przy $x$ wynosi $4$, zatem

$$w(x)=4x-3$$

jest wielomianem pierwszego stopnia.

c) Dla $m=-2$ współczynnik przy $x$ jest równy $0$, a wyraz wolny wynosi $1$. Otrzymujemy wielomian stały $w(x)=1$.

Po dodaniu wielomianów otrzymujemy

$$t(x)=(p^2-1)x^5+(p+1)x^4+(p-1)x^3+1.$$

Jeśli $p\notin\{-1,1\}$, współczynnik $p^2-1$ jest niezerowy, więc $\operatorname{st}(t)=5$.

Dla $p=1$ składnik stopnia piątego znika, ale współczynnik przy $x^4$ wynosi $2$, zatem $\operatorname{st}(t)=4$.

Dla $p=-1$ znikają składniki stopnia piątego i czwartego, natomiast współczynnik przy $x^3$ wynosi $-2$. Wtedy $\operatorname{st}(t)=3$.

Obliczamy wielomian $h$:

$$\begin{aligned} h(x)&=2f(x)-g(x)\\ &=(2a^2+3a-2)x^6+2(1-5a)x^5+ax^4-8a-1. \end{aligned}$$

Aby stopień wynosił $5$, współczynnik przy $x^6$ musi być zerowy:

$$2a^2+3a-2=(2a-1)(a+2)=0.$$

Stąd $a=\frac12$ lub $a=-2$. Dla obu wartości współczynnik przy $x^5$ jest niezerowy, więc rzeczywiście otrzymujemy stopień $5$.

Wyraz wolny jest równy $-8a-1$. Dla $a=\frac12$ wynosi $-5$, a dla $a=-2$ wynosi $15$. Warunek dodatniości spełnia tylko druga wartość.

Po utworzeniu kombinacji liniowej mamy

$$t(x)=(3p+5q)x^4+3qx^3+(-2p-4q)x^2+px.$$

Aby stopień był równy $2$, współczynniki przy $x^4$ i $x^3$ muszą być zerowe. Z równania $3q=0$ wynika $q=0$, a wtedy z $3p+5q=0$ otrzymujemy $p=0$.

Dla $p=q=0$ wielomian $t$ jest jednak wielomianem zerowym, a nie wielomianem drugiego stopnia. Innych wartości spełniających warunki dla wyższych potęg nie ma.

Najpierw dodajemy $h$ i $f$, a następnie odejmujemy $g$:

$$\begin{aligned} w(x) &=\frac12\bigl(bx^2+(a+2)x-a-1\bigr)\\ &\quad-\left(-ax^3+x^2+\frac b2x-\frac12\right)\\ &=ax^3+\left(\frac b2-1\right)x^2 +\frac{a+2-b}{2}x-\frac a2. \end{aligned}$$

Wielomian jest zerowy, gdy wszystkie współczynniki są równe $0$. Ze współczynnika przy $x^3$ otrzymujemy $a=0$, a ze współczynnika przy $x^2$:

$$\frac b2-1=0,$$

czyli $b=2$. Dla tej pary współczynnik przy $x$ i wyraz wolny również są równe $0$.