MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 47

Po dodaniu wielomianów i odjęciu $xyz$ otrzymujemy

$$\begin{aligned} w+v-xyz &=(3-p+4q)x^2y+(2p+q+3)y^2z\\ &\quad+(-1+2-1)xyz. \end{aligned}$$

Współczynnik przy $xyz$ znika niezależnie od parametrów. Pozostałe współczynniki muszą być równe $0$, zatem

$$\begin{cases} 3-p+4q=0,\\ 2p+q+3=0. \end{cases}$$

Z pierwszego równania $p=3+4q$. Po podstawieniu:

$$2(3+4q)+q+3=0,$$

czyli $9q+9=0$, więc $q=-1$ oraz $p=-1$.

Dla każdego $x$ średnia arytmetyczna wartości wielomianów jest wartością wielomianu

$$t(x)=\frac{u(x)+v(x)+w(x)}{3}.$$

Dodajemy wyrazy podobne:

$$\begin{aligned} u(x)+v(x)+w(x) &=(4+3+2)x^5+(-1+1)x^4\\ &\quad +(1+5+6)x^3+(-1+1)x^2+(1-1)\\ &=9x^5+12x^3. \end{aligned}$$

Zatem

$$t(x)=3x^5+4x^3.$$

a) Obliczamy wartości podanych wielomianów bezpośrednio z ich wzorów:

$$f(-1)=1,\quad g(-1)=-2.$$

Stąd

$$u(-1)=2f(-1)+3g(-1)=2-6=-4,$$

więc punkt $P(-1,-4)$ należy do wykresu $u$.

Dla $x=0$ mamy $f(0)=0$ i $g(0)=-3$, zatem $u(0)=-9\ne-5$. Punkt $Q$ nie należy do wykresu $u$.

b)

$$w(0)=3f(0)-4g(0)=0-4(-3)=12,$$

więc $a=12$. Ponadto $f(1)=3$ i $g(1)=2$, czyli

$$w(1)=3\cdot3-4\cdot2=1.$$

Zatem $b=1$.

a)

$$u(x)+w(x)=x^4+ax^3-5x^2-x.$$

Współczynnik przy $x^4$ jest równy $1$, więc dla każdego $a$ stopień wynosi $4$.

b)

$$u(x)+w(x)=(a+1)x^3-x^2-5x+10.$$

Dla $a\ne-1$ stopień wynosi $3$. Dla $a=-1$ składnik sześcienny znika, ale współczynnik przy $x^2$ jest niezerowy, więc stopień wynosi $2$.

c)

$$u(x)+w(x)=(a^2-1)x^6+(a+1)x^4-3(a+1)x+a-2.$$

Jeśli $a\notin\{-1,1\}$, współczynnik przy $x^6$ jest niezerowy, więc stopień wynosi $6$.

Dla $a=1$ pozostaje niezerowy składnik $2x^4$, zatem stopień wynosi $4$.

Dla $a=-1$ wszystkie składniki z $x$ znikają i otrzymujemy stałą $-3$, więc stopień wynosi $0$.

a)

$$u(x)-w(x)=ax^4-bx^3+x^2+3x+1.$$

Jeśli $a\ne0$, stopień wynosi $4$. Dla $a=0$, $b\ne0$ stopień wynosi $3$. Gdy $a=b=0$, pozostaje wielomian drugiego stopnia.

b)

$$u(x)-w(x)=(a+1)x^5+(1-2b)x^4+x+5.$$

Jeśli $a\ne-1$, stopień wynosi $5$. Dla $a=-1$ i $b\ne\frac12$ stopień wynosi $4$. Gdy $a=-1$ i $b=\frac12$, pozostaje $x+5$, więc stopień wynosi $1$.

c)

$$u(x)-w(x)=2(a+b)x^4+ax^3+8x^2+3.$$

Jeśli $a+b\ne0$, stopień wynosi $4$. Gdy $a+b=0$ i $a\ne0$, składnik czwartego stopnia znika, lecz sześcienny pozostaje, więc stopień wynosi $3$. Dla $a=b=0$ stopień wynosi $2$.

Z warunków przynależności punktów do wykresów otrzymujemy

$$f(1)=a+b-4=-5,$$

czyli $a+b=-1$, oraz

$$g(1)=b+c+3=0,$$

czyli $b+c=-3$.

Dla $x=-1$ mamy

$$f(-1)=-a+b+6,\qquad g(-1)=b-c+5.$$

Warunek $w(-1)=-4$ daje

$$2(-a+b+6)-5(b-c+5)=-4,$$

więc

$$-2a-3b+5c=9.$$

Z pierwszych dwóch równań $a=-1-b$ oraz $c=-3-b$. Po podstawieniu do trzeciego:

$$-2(-1-b)-3b+5(-3-b)=9,$$

stąd $-13-6b=9$, czyli

$$b=-\frac{11}{3},\qquad a=\frac83,\qquad c=\frac23.$$