MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 46

Rozkład nie jest jednoznaczny. Wystarczy tak rozdzielić wyrazy, aby składniki miały wymagane stopnie.

a) Przykładowo:

$$\begin{aligned} k(x)&=(x^4+4x)+(-4x^4-9),\\ m(x)&=(2x^4+1)+(-3x^4+8),\\ p(x)&=(2x^4+7x^3)+(5x^4-7x^2-7x+1). \end{aligned}$$

W każdej sumie oba składniki są stopnia czwartego.

b) Przykładowo:

$$\begin{aligned} k(x)&=(-3x^4+x^3+4x)+(-x^3-9),\\ m(x)&=(-x^4+2x^3)+(-2x^3+9),\\ p(x)&=(7x^4+2x^3)+(5x^3-7x^2-7x+1). \end{aligned}$$

W każdej sumie pierwszy składnik jest stopnia czwartego, a drugi — trzeciego.

a) Po lewej stronie obejmujemy nawiasem dwa składniki:

$$6xy-(2x-5xy)+3x=6xy-2x+5xy+3x=11xy+x.$$

Niezmieniona prawa strona również jest równa

$$12xy-8x-xy+9x=11xy+x.$$

b) Lewa strona ma postać

$$x^2-5xy-6xy-2xy=x^2-13xy.$$

Po prawej stronie wstawiamy nawias po znaku minus:

$$3x^2-(6xy+7xy+2x^2)=x^2-13xy.$$

a)

$$\begin{aligned} 7w(x)&=5x^2-30x+35+16x^2-12x-28\\ &=21x^2-42x+7. \end{aligned}$$

Po podzieleniu przez $7$:

$$w(x)=3x^2-6x+1.$$

b)

$$8w(x)=7(4x^2+2x+1)-3(4x^2-6x+5)=16x^2+32x-8,$$

zatem

$$w(x)=2x^2+4x-1.$$

c)

$$84xy+42x+18-5w(x,y)=24xy-12x+32.$$

Stąd

$$5w(x,y)=60xy+54x-14,$$

czyli

$$w(x,y)=12xy+\frac{54}{5}x-\frac{14}{5}.$$

Dodajemy wielomiany i redukujemy wyrazy podobne:

$$\begin{aligned} t(x,y)&=(-x^3y+5x^2y^2+2xy)\\ &\quad +(4x^3y-4x^2y^2-y^4)\\ &\quad +(-3x^3y-2xy+3y^4)\\ &=x^2y^2+2y^4. \end{aligned}$$

Dla każdych rzeczywistych $x,y$ mamy $x^2y^2\ge0$ oraz $2y^4\ge0$. Zatem

$$t(x,y)=x^2y^2+2y^4\ge0,$$

więc wielomian nie przyjmuje wartości ujemnych.

Obwód kwadratu wynosi $4k(x)$, a trójkąta równobocznego $3t(x)$. Zatem

$$4(3x^2+6x+4)=3(4x^2+7x+6).$$

Po rozwinięciu:

$$12x^2+24x+16=12x^2+21x+18,$$

więc $3x=2$ i $x=\frac23$.

Dla tej wartości

$$k\left(\frac23\right)=3\cdot\frac49+6\cdot\frac23+4=\frac{28}{3}.$$

Wspólny obwód jest równy

$$4k\left(\frac23\right)=4\cdot\frac{28}{3}=\frac{112}{3}=37\frac13.$$

Mnożymy równość przez $3$:

$$-4w(x)+5u(x)=21w(x).$$

Stąd

$$5u(x)=25w(x),$$

czyli $u(x)=5w(x)$. Zatem

$$u(x)=5(3x^3+5x^2-7x)=15x^3+25x^2-35x.$$

Obliczamy wielomian $u$:

$$\begin{aligned} u(x)&=3v(x)-2w(x)\\ &=(15p-30)x^3+(-6+6)x^2+\bigl(3(q-4)-6\bigr)x+(-6+6)\\ &=15(p-2)x^3+(3q-18)x. \end{aligned}$$

Wielomian jest zerowy wtedy i tylko wtedy, gdy oba jego współczynniki są równe $0$:

$$15(p-2)=0,\qquad 3q-18=0.$$

Zatem $p=2$ i $q=6$.