MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 45

a) Redukujemy wyrazy podobne:

$$\begin{aligned} w(x)&=(6x^3-5x^2-4)+(-2x^2-x+3)+(-3x^3+7x^2-2x)\\ &=3x^3-3x-1. \end{aligned}$$

Najwyższa potęga o niezerowym współczynniku to $x^3$, więc $\operatorname{st}(w)=3$.

b)

$$\begin{aligned} w(x)&=-\frac12(6x^3-5x^2-4)+2(-2x^2-x+3)-(-3x^3+7x^2-2x)\\ &=-3x^3+\frac52x^2+2-4x^2-2x+6+3x^3-7x^2+2x\\ &=-\frac{17}{2}x^2+8. \end{aligned}$$

Zatem $\operatorname{st}(w)=2$.

a)

$$\begin{aligned} w(x)&=\left(\frac{15}{2}+\frac92\right)x^2+\left(\frac{25}{3}+\frac{17}{3}\right)x-9{,}5-3{,}5\\ &=12x^2+14x-13. \end{aligned}$$

b) Ponieważ $2{,}5=\frac52$ i $1{,}5=\frac32$, współczynniki wynoszą

$$\begin{aligned} [x^2]&:\ \frac52\cdot\frac47-\frac32\left(-\frac{12}{7}\right)=4,\\ [x^3]&:\ \frac52\left(-\frac6{11}\right)-\frac32\left(-\frac{10}{11}\right)=0,\\ [x^4]&:\ \frac52\cdot\frac79-\frac32\left(-\frac{11}{9}\right)=\frac{34}{9}. \end{aligned}$$

Stąd

$$w(x)=\frac{34}{9}x^4+4x^2.$$

c) Redukujemy współczynniki przy każdym jednomianie:

$$\begin{aligned} w(x,y)&=24u(x,y)-20v(x,y)\\ &=(8-10)x^2y+(-6+5)xy^2+(4+4)xy\\ &=-2x^2y-xy^2+8xy. \end{aligned}$$

W kwadracie magicznym $3\times3$ suma wszystkich pól jest równa trzykrotności sumy magicznej. Każda para pól leżących naprzeciw siebie względem środka ma sumę równą dwukrotności pola środkowego. Zatem suma magiczna wynosi

$$S=3(5x^2-x+5)=15x^2-3x+15,$$

a suma pól naprzeciwległych jest równa

$$2(5x^2-x+5)=10x^2-2x+10.$$

Pole lewego górnego rogu jest przeciwległe do prawego dolnego:

$$(10x^2-2x+10)-(6x^2+2x+2)=4x^2-4x+8.$$

Z sumy pierwszej kolumny wyznaczamy lewe pole środkowe:

$$(15x^2-3x+15)-(4x^2-4x+8)-(2x^2-2x+6)=9x^2+3x+1.$$

Pole prawe środkowe, jako przeciwległe, jest równe

$$(10x^2-2x+10)-(9x^2+3x+1)=x^2-5x+9.$$

Z pierwszego wiersza otrzymujemy pole górne środkowe:

$$(15x^2-3x+15)-(4x^2-4x+8)-(8x^2+4)=3x^2+x+3.$$

Ostatnie pole jest do niego przeciwległe, więc wynosi $7x^2-3x+7$.

Liczba przekątnych $(2k)$-kąta jest równa

$$\frac{(2k)^2-3(2k)}{2}=2k^2-3k.$$

Liczba przekątnych $(3k)$-kąta wynosi

$$\frac{(3k)^2-3(3k)}{2}=\frac92k^2-\frac92k.$$

Łącznie figury mają

$$2k^2-3k+\frac92k^2-\frac92k =\frac{13}{2}k^2-\frac{15}{2}k$$

przekątnych.

Z warunku $u(-2)=-10$ mamy

$$-8-8-2k-2=-10,\qquad -18-2k=-10,\qquad k=-4.$$

Z warunku $v(-3)=13$ otrzymujemy

$$-27+9m+18+4=13,\qquad 9m-5=13,\qquad m=2.$$

Stąd

$$u(x)=x^3-2x^2-4x-2,\qquad v(x)=x^3+2x^2-6x+4.$$

Dla $x=2$:

$$u(2)=-10,\qquad v(2)=8,$$

więc

$$w_1(2)=u(2)+v(2)=-2,\qquad w_2(2)=u(2)-v(2)=-18.$$

Od $w_1$ do $w_{10}$ wielomian $r$ dodajemy dziewięć razy. Zatem

$$\begin{aligned} w_{10}(x)&=w_1(x)+9r(x)\\ &=12x^2-x+1+9(x-x^2)\\ &=3x^2+8x+1. \end{aligned}$$

Oznaczmy $A=w_1$ i $B=w_2$. Kolejne wielomiany są sumami dwóch poprzednich, więc współczynniki przy $A$ i $B$ tworzą ciąg Fibonacciego:

$$w_{10}=21A+34B.$$

Podstawiamy wzory $A=x+y-2xy$ oraz $B=x-y+2xy$:

$$\begin{aligned} w_{10}(x,y)&=21(x+y-2xy)+34(x-y+2xy)\\ &=55x-13y+26xy. \end{aligned}$$