MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 44

Oznaczmy sumę współczynników o numerach parzystych przez

$$E=a_0+a_2+a_4+a_6+a_8,$$

a sumę współczynników o numerach nieparzystych przez

$$O=a_1+a_3+a_5+a_7+a_9.$$

Po podstawieniu $1$ i $-1$ otrzymujemy

$$w(1)=E+O=p,\qquad w(-1)=E-O=q.$$

a) Odejmujemy równania stronami:

$$2O=p-q,\qquad O=\frac{p-q}{2}.$$

To dowodzi podanej równości.

b) Dodajemy równania stronami:

$$2E=p+q,\qquad E=\frac{p+q}{2}.$$

Dodając dwa pierwsze równania i odejmując trzecie, otrzymujemy

$$2a_0=(-2)+7-(-1)=6,$$

czyli $a_0=3$. Następnie

$$a_1=-2-a_0=-5,\qquad a_2=7-a_0=4.$$

Zatem

$$w(x)=a_2x^2+a_1x+a_0=4x^2-5x+3.$$

Liczby $2$ i $3$ są miejscami zerowymi wielomianu drugiego stopnia, więc

$$w(x)=a(x-2)(x-3)=ax^2-5ax+6a.$$

Stąd $b=-5a$ i $c=6a$. Warunek $b=ac$ daje

$$-5a=a\cdot6a.$$

Ponieważ $a\ne0$, możemy podzielić równanie przez $a$:

$$-5=6a,\qquad a=-\frac56.$$

Zatem $c=6a=-5$, a $w(0)=c$.

a) Dla $x=1$ wszystkie potęgi są równe $1$, więc

$$w(1)=a_0+a_1+\ldots+a_n.$$

Dla $x=-1$ znaki przy kolejnych potęgach zmieniają się naprzemiennie:

$$w(-1)=a_0-a_1+a_2-a_3+\ldots+(-1)^na_n.$$

b) Niech $E$ oznacza sumę współczynników przy parzystych potęgach, a $O$ — przy nieparzystych. Wtedy

$$E+O=w(1)=-8,\qquad E-O=w(-1)=2.$$

Po dodaniu równań mamy $2E=-6$, zatem $E=-3$.

Poza współczynnikiem $a_5=1$ dokładnie jeden współczynnik jest niezerowy. Dla pewnego $j\in\{0,1,2,3,4\}$ mamy więc

$$w(x)=x^5+cx^j,\qquad c\ne0.$$

Warunek $w(2)=44$ daje

$$32+c\cdot2^j=44,\qquad c=\frac{12}{2^j}.$$

Dla kolejnych wartości $j$ otrzymujemy:

$$\begin{array}{c|ccccc} j&0&1&2&3&4\\ \hline c&12&6&3&\frac32&\frac34 \end{array}$$

Pierwsze dwa składniki zawierają odpowiednio potęgi $x^{2/3}$ i $x^{3/2}$. Aby funkcja była wielomianem określonym dla każdego $x\in\mathbb R$, oba te składniki muszą zniknąć. Zatem

$$\begin{cases} k-2m+1=0,\\ 2k+3m+9=0. \end{cases}$$

Z pierwszego równania $k=2m-1$. Po podstawieniu do drugiego:

$$2(2m-1)+3m+9=0,\qquad 7m+7=0,\qquad m=-1,\quad k=-3.$$

Wtedy współczynniki przy $x^3$ i $x^2$ również są równe $0$, natomiast $k+m=-4$. Otrzymujemy

$$w(x)=-4x+1.$$

Jest to wielomian pierwszego stopnia, a

$$w\left(\frac14\right)=-4\cdot\frac14+1=0.$$

Wielomian ma $101$ współczynników: $a_0,a_1,\ldots,a_{100}$. Niech $P$ oznacza liczbę współczynników równych $1$, a $M$ — liczbę współczynników równych $-1$. Z warunków

$$P+M=101,\qquad P-M=w(1)=33$$

otrzymujemy $P=67$ i $M=34$.

Wśród indeksów parzystych jest $51$ miejsc, a wśród nieparzystych $50$. Niech $e$ oznacza liczbę współczynników równych $1$ przy parzystych potęgach. Wtedy przy nieparzystych potęgach jest $67-e$ współczynników równych $1$. Stąd

$$0\le e\le51,\qquad 0\le67-e\le50,$$

czyli $17\le e\le51$.

Suma współczynników przy potęgach parzystych wynosi $2e-51$, a przy nieparzystych $2(67-e)-50$. Zatem

$$w(-1)=(2e-51)-\bigl(2(67-e)-50\bigr)=4e-135.$$

Wyrażenie rośnie wraz z $e$. Dla $e=17$ ma wartość $-67$, a dla $e=51$ wartość $69$; oba skrajne rozkłady współczynników są możliwe.