MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 43

Niech $R(x)$ oznacza sumę składników, których współczynniki nie zostały zamienione. Wtedy

$$w(x)=R(x)+6x^2-2x,$$ $$v(x)=R(x)-2x^2+6x.$$

Różnica wartości jest równa

$$w(x)-v(x)=8x^2-8x=8x(x-1).$$

Dla $x=-3$:

$$w(-3)-v(-3)=8\cdot(-3)\cdot(-4)=96.$$

a) Niech kolejne współczynniki, licząc od wyrazu wolnego, będą równe

$$2r,\quad 2r+2,\quad 2r+4,\quad 2r+6.$$

Ich suma spełnia

$$8r+12=36,$$

więc $r=3$. Współczynniki to $6,8,10,12$.

b) Kolejne nieparzyste liczby podzielne przez $3$ różnią się o $6$. Niech współczynniki będą równe

$$3(2r+1),\quad 3(2r+3),\quad 3(2r+5),\quad 3(2r+7).$$

Ich suma wynosi $24(r+2)$. Warunek

$$70<24(r+2)<100$$

przy całkowitym $r$ daje $r\in\{1,2\}$. Otrzymujemy więc ciągi współczynników

$$9,15,21,27$$

oraz

$$15,21,27,33.$$

Szukamy najpierw wielomianu kwadratowego $q(x)=ax^2+bx+c$. Warunki

$$q(-1)=0,\qquad q(0)=1,\qquad q(1)=-1$$

dają $c=1$ oraz układ

$$\begin{cases} a-b=-1,\\ a+b=-2. \end{cases}$$

Stąd $a=-\frac32$, $b=-\frac12$, więc

$$q(x)=-\frac32x^2-\frac12x+1.$$

Wielomian $p(x)=x(x-1)(x+1)=x^3-x$ zeruje się dla $x=-1,0,1$. Możemy więc dodawać do $q$ odpowiednie wielokrotności $p$, nie zmieniając trzech wymaganych wartości.

a) Bierzemy samo $q$.

b) Bierzemy $q+p$.

c) Bierzemy $q+xp$.

d) Bierzemy $q+x^5p$.

a) Po podstawieniu $x=2$ i $x=3$ otrzymujemy

$$\begin{cases} 12+2m+k=45+m+4k,\\ 32+3m+k=60+m+5k. \end{cases}$$

Po uproszczeniu:

$$\begin{cases} m-3k=33,\\ m-2k=14. \end{cases}$$

Stąd $k=-19$ i $m=-24$.

b) Analogicznie:

$$\begin{cases} 28+2m+k=45+m+4k,\\ 104+3m+k=60+m+5k, \end{cases}$$

czyli

$$\begin{cases} m-3k=17,\\ m-2k=-22. \end{cases}$$

Stąd $k=-39$ i $m=-100$.

Sprawdzamy, kiedy znika współczynnik przy najwyższej potędze, a następnie pierwszy niższy niezerowy współczynnik.

a) $a^2-1=0$ dla $a=\pm1$. Dla $a=1$ pozostaje wyraz $-2x$, a dla $a=-1$ tylko stała $1$.

b) $2a(a+3)=0$ dla $a=0$ lub $a=-3$. Dla $a=-3$ pozostaje $-3x^2-3$, a dla $a=0$ stała $-3$.

c) $a^2-4a=a(a-4)$. Dla $a=4$ pozostaje wyraz $2x^3$, a dla $a=0$ stała $1$.

d) $a^2+a-2=(a+2)(a-1)$. Dla $a=-2$ współczynnik przy $x^4$ jest równy $-3$, natomiast dla $a=1$ znika także wyraz czwartego stopnia i pozostaje wyraz $6x^2$.

a) Podstawiamy $x=2$:

$$50\cdot2^n+6\cdot2-2=3210,$$ $$50\cdot2^n=3200,$$ $$2^n=64=2^6.$$

Zatem $n=6$ i wielomian ma stopień $6$.

b) Podstawiamy $x=-2$:

$$\frac18(-2)^n+2(-2)-2=-22,$$ $$\frac18(-2)^n=-16,$$ $$(-2)^n=-128=(-2)^7.$$

Zatem $n=7$ i wielomian ma stopień $7$.

Obliczamy wartości:

$$w(1)=a^2+c^2+a+c,$$ $$w(-1)=a^2+c^2-a-c.$$

Są to liczby przeciwne, więc ich suma jest równa zero:

$$w(1)+w(-1)=2(a^2+c^2)=0.$$

Ponieważ $a$ i $c$ są rzeczywiste, suma ich kwadratów może być równa zeru tylko wtedy, gdy

$$a=0\qquad\text{i}\qquad c=0.$$

Wtedy każdy współczynnik wielomianu $w$ jest równy zero, zatem $w(x)=0$ dla każdego $x\in\mathbb R$. Teza została wykazana.