MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 42

Trzy współczynniki można rozmieścić na $3!=6$ sposobów:

$$\begin{aligned} w_1(x)&=6x^2+5x-2,\\ w_2(x)&=6x^2-2x+5,\\ w_3(x)&=5x^2+6x-2,\\ w_4(x)&=5x^2-2x+6,\\ w_5(x)&=-2x^2+6x+5,\\ w_6(x)&=-2x^2+5x+6. \end{aligned}$$

Dla $x=-3$ otrzymujemy kolejno

$$37,\quad 65,\quad 25,\quad 57,\quad -31,\quad -27.$$

Największa z tych wartości to $65$, przyjmowana przez $w_2$.

Wielomian jest zerowy, gdy oba jego współczynniki są równe zero:

$$\begin{cases} 2-4p=0,\\ 1-4p^2=0. \end{cases}$$

Pierwsze równanie daje $p=\frac12$. Ta wartość spełnia także drugie równanie.

a) Dla $n=0,1,\ldots,5$ współczynniki są kolejno równe

$$-2,\ 1,\ 4,\ 7,\ 10,\ 13.$$

Zatem

$$w(x)=13x^5+10x^4+7x^3+4x^2+x-2.$$

b) Współczynniki są kolejno równe

$$\frac18,\ \frac14,\ \frac12,\ 1,\ 2,\ 4.$$

Zatem

$$w(x)=4x^5+2x^4+x^3+\frac12x^2+\frac14x+\frac18.$$

a) Brak wyrazu przy $x^4$ odpowiada cyfrze $0$. Zatem

$$w(10)=7\cdot10^5+8\cdot10^3+2\cdot10^2+10+6=708\,216.$$

b) Cyfry liczby $892\,106$ są współczynnikami przy kolejnych potęgach od $x^5$ do $x^0$:

$$w(x)=8x^5+9x^4+2x^3+x^2+6.$$

a) Kolejno wykonujemy mnożenia:

$$(x+1)x+2=x^2+x+2,$$ $$(x^2+x+2)x+3=x^3+x^2+2x+3,$$ $$(x^3+x^2+2x+3)x+4=x^4+x^3+2x^2+3x+4.$$

Po ostatnim mnożeniu otrzymujemy

$$w(x)=x^5+x^4+2x^3+3x^2+4x+5.$$

b) Rozwijając nawiasy od środka:

$$2-x(1-x)=x^2-x+2,$$ $$3-x(x^2-x+2)=-x^3+x^2-2x+3,$$ $$4-x(-x^3+x^2-2x+3)=x^4-x^3+2x^2-3x+4.$$

Stąd

$$w(x)=5-x(x^4-x^3+2x^2-3x+4) =-x^5+x^4-2x^3+3x^2-4x+5.$$

Obliczamy:

$$w(1)=1+3+p-6-25=p-27,$$ $$w(-1)=-1+3+p+6-25=p-17,$$ $$w(0)=-25.$$

Warunek z zadania daje

$$(p-27)(p-17)=-25,$$ $$p^2-44p+484=0,$$ $$(p-22)^2=0.$$

Suma współczynników wielomianu jest równa jego wartości dla $x=1$.

a)

$$w(1)=(1+3-5)^3(2-6)-1+3=(-1)^3\cdot(-4)+2=6.$$

b)

$$w(1)=(5-3-4+1)^{101}=(-1)^{101}=-1.$$