MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 41

Jednomian ma postać $ax^n$, gdzie wykładnik $n$ jest nieujemną liczbą całkowitą.

a) $\sqrt[3]{2}x^2$ jest jednomianem.

b) $\dfrac{x^2}{\sqrt[3]{2}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}x^2$ jest jednomianem.

c) $\dfrac{\sqrt[3]{2}}{x^2}=\sqrt[3]{2}x^{-2}$ nie jest jednomianem.

d) $\sqrt[3]{2x^2}=\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{x^2}$ nie ma całkowitego wykładnika zmiennej, więc nie jest jednomianem.

e) $\sqrt[3]{2}+x^2$ jest sumą dwóch jednomianów.

f) $\sqrt[6]{x^2}\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{|x|}$ nie jest jednomianem.

W wielomianie wykładniki zmiennej są nieujemnymi liczbami całkowitymi.

$f_1$ nie jest wielomianem z powodu składnika $-2\sqrt{x}$.

$f_2$ jest wielomianem. Po uporządkowaniu:

$$f_2(x)=-9x^5+\sqrt2x^4-6x^3+x^2+14x,$$

więc $\operatorname{st}(f_2)=5$.

$f_3$ nie jest wielomianem z powodu składnika $8x^{-1}$, a $f_4$ — z powodu zmiennej w mianowniku.

$f_5$ jest wielomianem. Po uporządkowaniu:

$$f_5(x)=-6x^9-x^7+9x^6+6x^3+9,$$

więc $\operatorname{st}(f_5)=9$.

Wybierzmy wielomian z niezerowym współczynnikiem przy $x^3$ i niezerowym wyrazem wolnym:

$$w(x)=x^3+217.$$

Ma on stopień trzeci i dokładnie dwa niezerowe współczynniki. Ponadto

$$w(-6)=(-6)^3+217=-216+217=1.$$

Punkt $(x,y)$ należy do wykresu, gdy $y=w(x)$.

a)

$$w\left(\frac13\right)=-\frac19-\frac89+1+5=5,$$

więc $A$ należy do wykresu.

$$w(-2)=24-32-6+5=-9\neq-1,$$ $$w(0)=5\neq-5.$$

Punkty $B$ i $C$ nie należą do wykresu.

b)

$$w(2)=8+40-2-\frac72=\frac{85}{2}\neq10,$$ $$w\left(\frac12\right)=\frac1{32}+\frac58-\frac12-\frac72=-\frac{107}{32}\neq-\frac{53}{16},$$ $$w(-1)=\frac12-5+1-\frac72=-7.$$

Zatem należy tylko punkt $C$.

Współrzędne $a$, $b$, $c$ są odpowiednio wartościami wielomianu dla $\frac12$, $-1$, $\frac{\sqrt6}{2}$.

a) Dla $x=\frac12$:

$$a=\frac14+\frac16-2+3+3=\frac{53}{12}.$$

Dla $x=-1$:

$$b=4-\frac43-8-6+3=-\frac{25}{3}.$$

Dla $x=\frac{\sqrt6}{2}$ mamy $x^2=\frac32$, $x^3=\frac{3\sqrt6}{4}$, $x^4=\frac94$, więc

$$c=9+\sqrt6-12+3\sqrt6+3=4\sqrt6.$$

b) Dla $x=\frac12$:

$$a=-\frac1{12}+\frac18+\frac16+\frac14-1=-\frac{13}{24}.$$

Dla $x=-1$:

$$b=-\frac43-1+\frac23-\frac12-1=-\frac{19}{6}.$$

Dla $x=\frac{\sqrt6}{2}$:

$$c=-3+\frac{3\sqrt6}{4}+1+\frac{\sqrt6}{4}-1=\sqrt6-3.$$

Obliczamy:

$$w(5)=125+50-5-14=156,$$ $$w(2)=8+8-2-14=0.$$

Zatem

$$\frac{w(5)+w(2)}{w(5)-w(2)} =\frac{156}{156}=1.$$

a) Z $w(0)=5$ mamy $b=5$. Następnie

$$w(1)=-2+3+a+b=-3,$$

więc $a=-9$.

b) Warunki dają układ

$$\begin{cases} -27a-3b=0,\\ 8a+2b=-\frac{10}{3}. \end{cases}$$

Z pierwszego równania $b=-9a$. Po podstawieniu do drugiego:

$$-10a=-\frac{10}{3},$$

czyli $a=\frac13$ i $b=-3$.

c) Obliczamy

$$w(1)=a+b-9,\qquad w(2)=6+8a+4b,$$ $$w(-2)=6-8a+4b.$$

Warunki z zadania prowadzą do układu

$$\begin{cases} 9a+5b=3,\\ -8a+4b=10. \end{cases}$$

Z drugiego równania $b=\frac52+2a$. Po podstawieniu do pierwszego otrzymujemy $a=-\frac12$, a następnie $b=\frac32$.