MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 38

Z postaci iloczynowej odczytujemy miejsca zerowe:

$$x_1=-3,\qquad x_2=5.$$

Ich suma wynosi

$$x_1+x_2=-3+5=2.$$

Proste są równoległe, gdy ich współczynniki kierunkowe są równe:

$$m^2=4m-4.$$

Stąd

$$m^2-4m+4=(m-2)^2=0,$$

więc $m=2$.

Przenosimy prawą stronę na lewą i wyłączamy wspólny czynnik:

$$2(x-1)(x+3)-(x-1)>0,$$ $$(x-1)(2x+5)>0.$$

Iloczyn jest dodatni poza miejscami zerowymi $-\frac52$ i $1$.

Oznaczmy

$$c=(a-1)^2-4.$$

Równanie $|x-5|=c$ ma dwa różne rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy $c>0$. Są nimi $x=5-c$ i $x=5+c$. Oba są dodatnie dokładnie wtedy, gdy dodatkowo $c<5$.

Zatem

$$0<(a-1)^2-4<5,$$ $$4<(a-1)^2<9,$$ $$2<|a-1|<3.$$

Stąd $a-1\in(-3;-2)\cup(2;3)$.

Ze wzorów Viète'a

$$S=x_1+x_2=3m+2,\qquad P=x_1x_2=2m^2+7m-15.$$

Warunek z zadania przekształcamy:

$$2(x_1^2+x_2^2)+5x_1x_2=2,$$ $$2(S^2-2P)+5P=2,$$ $$2S^2+P=2.$$

Po podstawieniu:

$$2(3m+2)^2+2m^2+7m-15=2,$$ $$20m^2+31m-9=0.$$

Wyróżnik tego równania wynosi $1681=41^2$, więc

$$m=\frac{-31\pm41}{40}\in\left\{-\frac95,\frac14\right\}.$$

Równanie wyjściowe ma dwa różne pierwiastki, gdy

$$\Delta_x=(3m+2)^2-4(2m^2+7m-15)=(m-8)^2>0.$$

Obie otrzymane wartości spełniają ten warunek.

Warunek dwóch różnych pierwiastków ma postać

$$\Delta=(m+1)^2-4(1-m^2)=5m^2+2m-3>0,$$

czyli

$$m\in(-\infty;-1)\cup\left(\frac35;\infty\right).$$

Ze wzorów Viète'a

$$S=x_1+x_2=-(m+1),\qquad P=x_1x_2=1-m^2.$$

Korzystamy z tożsamości $x_1^3+x_2^3=S^3-3PS$:

$$S^3-3PS>-7P,$$ $$-(m+1)^3+(1-m^2)(3m+10)>0,$$ $$(m+3)(m+1)(4m-3)<0.$$

Ta nierówność jest spełniona dla

$$m\in(-\infty;-3)\cup\left(-1;\frac34\right).$$

Po przecięciu z warunkiem $\Delta>0$ otrzymujemy wynik.

Wyróżnik równania wynosi

$$\Delta=(-6m)^2-16(2m+3)(m-3)=4(m+6)^2.$$

Dwa różne pierwiastki istnieją dla $m\neq-6$. Ponieważ $x_1<x_2$, mamy

$$x_2-x_1=\frac{\sqrt\Delta}{4}=\frac{|m+6|}{2}.$$

Oznaczmy $d=4x_1-4x_2=-2|m+6|$. Warunek z zadania jest równoważny nierówności

$$(d-1)(d+1)<0,$$

czyli $-1<d<1$. Ponieważ $d\leq0$, dostajemy

$$2|m+6|<1,$$ $$|m+6|<\frac12.$$

Trzeba jeszcze wykluczyć $m=-6$, dla którego pierwiastki nie są różne.