MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 37

Po uporządkowaniu równania otrzymujemy

$$6\sqrt3x^2-9x+\sqrt3=0.$$

Wyróżnik jest równy

$$\Delta=(-9)^2-4\cdot6\sqrt3\cdot\sqrt3=81-72=9.$$

Zatem

$$x_{1,2}=\frac{9\pm3}{12\sqrt3},$$

czyli $x_1=\frac{\sqrt3}{6}$ i $x_2=\frac{\sqrt3}{3}$.

Wyznaczamy miejsca zerowe trójmianu:

$$\Delta=(-1)^2-4\cdot2\cdot(-28)=225,$$ $$x_1=\frac{1-15}{4}=-\frac72,\qquad x_2=\frac{1+15}{4}=4.$$

Ponieważ współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, rozwiązaniem nierówności jest

$$x\in\left(-\frac72;4\right).$$

Należą do niego liczby całkowite $-3,-2,-1,0,1,2,3$, czyli siedem liczb.

Podstawiamy $t=x^2$, gdzie $t\geq0$. Cztery różne rozwiązania w zmiennej $x$ otrzymamy wtedy, gdy równanie w zmiennej $t$ ma dwa różne dodatnie pierwiastki.

W odpowiedzi D mamy

$$t^2-10t+21=0,$$ $$(t-3)(t-7)=0.$$

Oba pierwiastki, $3$ i $7$, są dodatnie. Stąd

$$x\in\{-\sqrt7,-\sqrt3,\sqrt3,\sqrt7\}.$$

Pozostałe równania mają odpowiednio zero albo dwa rozwiązania rzeczywiste.

Współrzędne punktów wspólnych spełniają równanie

$$2x^2=ax,$$ $$x(2x-a)=0.$$

Poza rozwiązaniem $x=0$ otrzymujemy $x=\frac a2$. Wtedy

$$y=a\cdot\frac a2=\frac{a^2}{2}.$$

Po przeniesieniu prawej strony otrzymujemy równanie kwadratowe o współczynnikach

$$a=\frac{1}{\sqrt2+1},\qquad c=-\frac{1}{\sqrt2-1}.$$

Ze wzorów Viète'a iloczyn pierwiastków wynosi

$$x_1x_2=\frac ca =-\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1} =-\frac{(\sqrt2+1)^2}{2-1} =-3-2\sqrt2.$$

Mamy $a=2\sqrt3$, $b=2\sqrt2$, $c=-\sqrt3$. Ze wzorów Viète'a

$$x_1+x_2=-\frac{2\sqrt2}{2\sqrt3}=-\frac{\sqrt6}{3}, \qquad x_1x_2=-\frac12.$$

Zatem

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2 =\frac23+1=\frac53.$$

Odwrotność tej sumy jest równa $\frac35$.

Równanie ma postać

$$\left(k+\frac12\right)x^2-(k+1)x+k=0.$$

Jeśli $k=-\frac12$, wyraz kwadratowy znika i otrzymujemy równanie liniowe z jednym rozwiązaniem.

Dla $k\neq-\frac12$ równanie kwadratowe ma dokładnie jeden pierwiastek, gdy

$$\Delta=(k+1)^2-4k\left(k+\frac12\right)=1-3k^2=0.$$

Stąd $k=\pm\frac{\sqrt3}{3}$. Łącznie są to trzy wartości parametru.

Zapisujemy funkcję w postaci kanonicznej:

$$f(x)=-(x+1)^2-2.$$

Wierzchołek ma argument $-1$, który należy do przedziału, więc wartość największa wynosi $f(-1)=-2$.

Na końcach przedziału:

$$f(-2)=-3,\qquad f(2)=-11.$$

Wartość najmniejsza to $-11$, zatem szukana różnica wynosi

$$-2-(-11)=9.$$

Niech liczby będą równe $x$ i $6-x$. Wtedy potrojona suma ich kwadratów ma postać

$$3\left(x^2+(6-x)^2\right) =6(x-3)^2+54.$$

Wyrażenie jest najmniejsze dla $x=3$ i przyjmuje wtedy wartość $54$.

Niech krótszy bok ma długość $x$ m, a dłuższy $x+0{,}8$ m. Z warunku pola

$$x(x+0{,}8)=108,$$ $$x^2+0{,}8x-108=0.$$

Wyróżnik wynosi $432{,}64=(20{,}8)^2$, więc dodatnim rozwiązaniem jest

$$x=\frac{-0{,}8+20{,}8}{2}=10.$$

Boki mają długości $10$ m i $10{,}8$ m, a obwód jest równy

$$2(10+10{,}8)=41{,}6\ \text{m}.$$