MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 278

a) Dziedzina $x>-a$ ma lewy koniec $-1$, więc $a=1$. Ponadto $f(0)=b=-2$. Zatem $g(x)=|\log_{\sqrt2}(x+1)-2|$, a jego miejsce zerowe to $x=1$.

b) Asymptota $x=-a=2$ daje $a=-2$. Warunek $f(6)=0$ prowadzi do $\log_{\sqrt2}4+b=4+b=0$, więc $b=-4$ i miejsce zerowe $g$ to $6$.

a) Warunek $1-|x|>0$ daje $D=(-1;1)$. Dla $x<0$ argument rośnie, a logarytm o podstawie $1/2$ maleje, więc $f$ maleje na $(-1;0]$; dla $x>0$ argument maleje, więc $f$ rośnie na $[0;1)$.

b) Dziedzina to $(-3;3)$. Przy podstawie $3$ zachowujemy kierunek: funkcja rośnie na $(-3;0]$ i maleje na $[0;3)$.

Pierwsza, druga i czwarta liczba są równe $2\ln2/\ln6$. Trzecia wynosi $\ln16/\ln(6\sqrt6)=8\ln2/(3\ln6)$, więc ma inną wartość.

Korzystamy z $1/\log_a b=\log_b a$ i zmiany podstawy.

a) $2\log_3 6-\log_3 4=\log_3 9$. b) $2\log_4 12-\log_4 18=\log_4 8$. c) Iloraz $\log_5 8/(-\log_5 32)$ daje $-3/5$. d) Zapis w logarytmach przy podstawie $2$ daje $-3/4$. e) Po zmianie podstaw wszystkie logarytmy pośrednie skracają się. f) Analogiczne skrócenie trzech czynników daje tę samą wartość.

Z definicji $a=\log_3 2$ i $b=\log_5 2$ mamy $\log_2 3=1/a$ oraz $\log_2 5=1/b$. Zmiana podstawy daje kolejno:

a) $\log_4 15=\frac12(\frac1a+\frac1b)=\frac{a+b}{2ab}$.

b) $\log_{15}2=\frac1{1/a+1/b}=\frac{ab}{a+b}$.

c) $\log_6 10=\frac{1+1/b}{1+1/a}=\frac{a(b+1)}{b(a+1)}$.

d) $\log_{16}0{,}6=\frac14(\frac1a-\frac1b)=\frac{b-a}{4ab}$.

e) $\log_{\sqrt2}(3\sqrt5)=2(\frac1a+\frac1{2b}) =\frac{a+2b}{ab}$.

f) $\log_2\frac{3\sqrt3}{5}=\frac3{2a}-\frac1b =\frac{3b-2a}{2ab}$.

g) $\log_4 45=\frac12(\frac2a+\frac1b)=\frac{a+2b}{2ab}$.

h) $\log_9 50=\frac{1+2/b}{2/a}=\frac{a(b+2)}{2b}$.