MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 277

Najpierw obliczamy logarytm wewnętrzny, a potem zewnętrzny.

a) $\log_{2\sqrt2}8=2$; b) $\log_4\sqrt[4]2=1/8$; c) $3+\log_2 32=8$; d) $100+\log_9 3^{50}=125$; e) $6+\log_{\sqrt2}(1/2)=4$; f) suma wewnątrz wynosi $100$; g) wyrażenie wewnętrzne to $\log_6 36=2$; h) różnica wewnętrzna to $\log_{\sqrt2}8=6$.

Porównujemy każdą liczbę ze wspólną całkowitą granicą.

a) $a<\log_5 625=4$, zaś $b>\log_3 81=4$.

b) $a>5$, natomiast $b<4$.

c) $a=-\log_2 3<-1$, a $b=-\log_3 2>-1$.

d) $a=2\log_3 30>6$, a $b=2\log_2 7<6$.

a) $x_0=-\log_2 3$, więc $2^{x_0+2}=4/3$.

b) $x_0=\log_2 3$, więc wartość wynosi $12$.

c) Różnica logarytmów wewnętrznych jest równa $2$; zatem $x_0=1/\log_5 2=\log_2 5$ i wartość wynosi $20$.

d) Wyrażenie pod pierwiastkiem to $(\log_4 3+1/2)^2$, więc $x_0=\log_4 6$ i wartość wynosi $4\sqrt6$.

Dziedzinę wyznaczamy z dodatniości argumentu, a wartość $-1$ oznacza, że argument jest odwrotnością podstawy.

a) $(x-1)(x-2)>0$; równanie argumentu z $2$ daje $x=0,3$.

b) $x\ne4$; $(x-4)^2=4$ daje $x=2,6$.

c) $|x|<12$; $12-|x|=10$ daje $x=\pm2$.

d) $x\ne1/4$; $|4x-1|=1/2$ daje $x=1/8,3/8$.

a) Dziedzina to $x>-2$. Ponieważ $f(x)=2-\log_3(x+2)$, funkcja jest malejąca i $f(x)<0$ dokładnie dla $x>7$.

b) Dziedzina to $x\ne-1$, a $f(x)=\log_{0{,}5}|x+1|$. Funkcja jest rosnąca na $(-\infty;-1)$ i malejąca na $(-1;\infty)$; wartości ujemne przyjmuje, gdy $|x+1|>1$, czyli dla $x<-2$ lub $x>0$.

a) Dziedzina wymaga $x,y>0$. Po spotęgowaniu $x+y=xy$, czyli $(x-1)(y-1)=1$. Dodatnie całkowite współrzędne daje jedynie para $(2,2)$.

b) Ponownie $x,y>0$. Równanie jest równoważne $2x+2y=xy$, czyli $(x-2)(y-2)=4$. Dodatnie pary całkowite to $(3,6)$, $(4,4)$ i $(6,3)$.

Z własności sumy logarytmów prawa strona to $\log_a(3c)$. Różnowartościowość logarytmu daje $c+3=3c$. Otrzymane $c=3/2$ spełnia warunki dodatniości argumentów.

Zmiana podstawy daje

Punkty $(x,f(x))$ i $(x,-f(x))$ są symetryczne względem osi $OX$.