MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 276

Niech $u=(1/2)^{|x|-2}$. Dla $|x|\ge0$ liczba $u$ maleje od $4$ do $0$, a $f(x)=|u-2|$. Poziom $m$ z przedziału $(0;2)$ przecina gałąź $u>2$ w dwóch symetrycznych punktach i gałąź $u<2$ w kolejnych dwóch. Dla $m=0$ są dwa przecięcia, dla $m=2$ jedno, a poza $[0;2]$ nie ma ich. Największą wartością funkcji $g$ jest więc $4$.

Każda funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, a $f(0)=1$. Stąd $f(2x-x^2)=1$ jest równoważne $2x-x^2=0$, czyli $x(2-x)=0$.

Sprawdzamy przez potęgowanie podstaw.

I. $(2-\sqrt2)^{-1}=1+1/\sqrt2$.

II. $(1-1/\sqrt2)^{-2}=6+4\sqrt2$.

III. $(1+\sqrt2)^3=7+5\sqrt2$, więc właściwy logarytm ma wartość $3$, a nie $-3$.

Oznaczmy $t=3^{\sqrt2+2}$. Wtedy

Jeśli $u=2^{\sqrt{12}}/3^{\sqrt8}$, to drugie wyrażenie ma postać $(u+u^{-1})^2-(u-u^{-1})^2=4$, więc $m=4$. Ostatecznie $\log_km=\log_2 4=2=4^{1/2}=m^{1/k}$.

Pierwsze równanie daje $(x-1)^2=3$. Podstawa logarytmu musi być dodatnia, więc $x=1+\sqrt3$. Drugie równanie daje $x^2=4+2\sqrt3=(1+\sqrt3)^2$ i, ponieważ $x>0$, ten sam wynik.

Mamy $\log(2^{100})=100\log2\approx30{,}10$. Zatem $10^{30}<2^{100}<10^{31}$. Liczby od $10^{30}$ do $10^{31}-1$ mają dokładnie $31$ cyfr.

Zapisujemy wszystkie podstawy jako potęgi $a$. Cztery logarytmy są równe kolejno

Wartość całego ilorazu wynosi więc $(-2\cdot12)/(\frac43\cdot-3)$.

Łączymy składniki w jeden logarytm.

a) $x=\log_2(5/6)<0$.

b) $x=\log_3(6/5)>0$.

c) Ponieważ $\log_{0{,}1}u=-\log u$, mamy $x=\log(1{,}08)>0$.

d) $x=\log_2(32/135)<0$.