MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 275

Punkt wspólny z poziomym odcinkiem musi mieć drugą współrzędną równą $2$ i pierwszą współrzędną z przedziału $[2;5]$.

a) Z $2^{x-p}=2$ mamy $x=p+1$, więc $1\le p\le4$.

b) Z $2^x+p=2$ mamy $p=2-2^x$. Dla $x\in[2;5]$ wartości tego wyrażenia wypełniają przedział $[-30;-2]$.

Mamy $g(x)=1-(2^{-x}-1)=2-2^{-x}$. Dla punktów wspólnych

Po podstawieniu $t=2^x>0$ dostajemy $t^2-3t+1=0$. Równanie ma dwa dodatnie pierwiastki, a funkcja $2^x$ przyjmuje każdy z nich dokładnie raz.

Odbicie względem prostej pionowej $x=c$ daje $g(x)=f(2c-x)$, a względem poziomej $y=c$ daje $g(x)=2c-f(x)$. Odbicie względem $y=x$ daje funkcję odwrotną.

a) $g(x)=f(8-x)=(2\sqrt2)^{8-x}$.

b) $g(x)=f(12-x)=(1/\sqrt3)^{12-x}$.

c) $g(x)=14-f(x)=14-(\sqrt7)^x$.

d) Z równania $y=5^x$ wynika $x=\log_5y$, więc funkcją odwrotną jest $g(x)=\log_5x$ dla $x>0$.

Warunek punktu zapisujemy bez odczytywania wykresu:

Porównanie wykładników daje $3-p=-1$.

Dzielimy równania wynikające z obu punktów, aby wyznaczyć podstawę, a następnie wykładnik przesunięcia.

a) $a=3$, $b=1$, więc $g(x)=3^{|x|+1}$ i ma minimum $3$.

b) $a=\sqrt2$, $b=2$, więc $g(x)=(\sqrt2)^{|x|+2}$ i ma minimum $2$.

c) $a=1/4$, $b=-1$, więc $g(x)=(1/4)^{|x|-1}$ i ma maksimum $4$; dąży do zera dla $|x|\to\infty$.

a) Dolny kraniec zbioru wartości funkcji $(\sqrt2)^x+a$ jest równy $a$, więc $a=2$. Funkcja jest dodatnia i $g=f$ jest rosnąca.

b) Warunek $f(2)=0$ daje $a=-2$. Wartość bezwzględna odbija część poniżej osi: $g$ maleje do zera na $(-\infty;2]$ i rośnie na $[2;\infty)$.

c) $f(-4)=1/4+a=-3/4$, zatem $a=-1$. Miejsce zerowe to $0$; $g$ maleje na $(-\infty;0]$ i rośnie na $[0;\infty)$.

Obie funkcje są parzyste, więc kładziemy $t=|x|\ge0$. Rozwiązujemy

Dla $0\le t\le3$ równanie jest równoważne $2^t+t/4=1$. Lewa strona jest ściśle rosnąca i dla $t=0$ ma wartość $1$, więc jest to jedyny pierwiastek w tym przedziale.

Dla $t\ge3$ rozważmy $h(t)=2^t-t/4-15$. Mamy $h'(t)=(\ln2)2^t-1/4>0$, zatem $h$ jest ściśle rosnąca. Ponieważ $h(4)=0$, w tym przedziale jedynym pierwiastkiem jest $t=4$. Wracamy do $x=0,\pm4$.

Ponieważ $2+\sqrt2>1$, warunek definiujący $A$ daje $x<3$. Ponieważ $0<2-\sqrt2<1$, warunek definiujący $B$ daje $x>3$. Jedyna liczba nienależąca do sumy tych zbiorów to ich wspólny punkt graniczny.