MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 274

a) Łączny wykładnik liczby $a$ upraszcza się do $3-\sqrt6$. Po podstawieniu $a=2^{3+\sqrt6}$ otrzymujemy $2^{(3+\sqrt6)(3-\sqrt6)}=2^3$.

b) Wykładnik wewnątrz nawiasu także jest równy $3-\sqrt6$; potęga zewnętrzna daje wykładnik $3$. Ponieważ $a=3\sqrt[3]3=3^{4/3}$, mamy $a^3=3^4$.

Po rozpisaniu podstaw $x=2^3 5^{-3}=8/125$. Ponadto

$$y=\left((2/5)^{\sqrt3-1}\right)^{\sqrt3+1} =(2/5)^2=4/25.$$

Zatem $x/y=2/5=40\%$.

Oznaczmy $t=2^{\sqrt5}$. Wtedy $8^{\sqrt5}=t^3$, a równanie ma postać

$$x^2-t(1+t)x+t^3=0=(x-t)(x-t^2).$$

Logarytmujemy wartości punktów przy podstawie $4$ i rozwiązujemy układ $ax+b=\log_4 y$.

a) $a=-1/2$, $b=-3/2$; funkcja malejąca, a $f(\log_2 3)=1/24$.

b) $a=1/2$, $b=-1$; funkcja rosnąca, a wartość wynosi $3/4$.

c) $a=-1$, $b=2$; funkcja malejąca, a wartość wynosi $16/9$.

d) $a=-1/4$, $b=0$; funkcja malejąca, a wartość wynosi $1/\sqrt3$.

W każdym podpunkcie dzielimy strony przez wspólną potęgę i zapisujemy równanie jako jedną potęgę.

a) $12^x=1$; b) $(5/3)^x=(5/3)^{-2}$; c) $(3/2)^x=(3/2)^{-2}$; d) $10^x=10$; e) $2^x=4$; f) $(2/3)^x=(2/3)^{-1}$.

Najpierw z warunku $a^{x_P}=y_P$ wyznaczamy podstawę, a następnie rozwiązujemy $a^x=y_0$.

a) $a=2/3$, $x=-1$. b) $a=2\sqrt2$, $x=1/3$. c) $a=1/10$, $x=-\log 2$. d) $a=8$, $x=\log_8 6$. e) $a=1/4$, $x=\log_{1/4}3$. f) $a=1/\sqrt2$, $x=-2\log_2 5$.

Niech $f(x)=a^x$, gdzie $a>0$ i $a\ne1$.

a) $f(s+t)=a^{s+t}=a^s a^t=f(s)f(t)$.

b) Dla $x=(s+t)/2$ mamy

$$f(x)=a^{(s+t)/2}=\sqrt{a^s a^t}=\sqrt{f(s)f(t)},$$

czyli jest to średnia geometryczna dodatnich wartości $f(s)$ i $f(t)$.