Cała strona · Zbiór zadań · szkoła średnia

MATeMAtyka 2. Zbiór zadań — strona 273

temat „6.11. Funkcje wykładnicza i logarytmiczna – zastosowania” · 5 zadań z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 7

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Po czasie połowicznego rozkładu $c_0/2=c_0e^{-kT_{0{,}5}}$ . Stąd $e^{-kT_{0{,}5}}=1/2$ , więc po zlogarytmowaniu $-kT_{0{,}5}=-\ln2$ .

Odpowiedź

$T_{0{,}5}=\dfrac{\ln2}{k}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 8

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Z poprzedniej zależności $k=\ln2/T_{0{,}5}$ . Podstawiamy ją do modelu:

c(t)=c_0e^{-(\ln2)t/T_{0{,}5}} =c_0\,2^{-t/T_{0{,}5}} =c_0\left(\frac12\right)^{t/T_{0{,}5}}.

Odpowiedź

Wzór $c(t)=c_0(1/2)^{t/T_{0{,}5}}$ jest prawdziwy.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 9

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Po czterech godzinach pozostaje $90\%$ stężenia. Zatem

0{,}9=\left(\frac12\right)^{4/T},\qquad T=4\frac{\ln0{,}5}{\ln0{,}9}\approx26{,}315\ \text{h}.

Część ułamkowa godziny to około $19$ minut.

Odpowiedź

Okres połowicznego rozkładu wynosi około $26$ h $19$ min.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 10

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Graniczny czas spełnia $6=10(1/2)^{t/8}$ . Stąd

t=8\frac{\ln0{,}6}{\ln0{,}5}\approx5{,}896\ \text{h}.

To około $5$ h $54$ min. Ponieważ stężenie nie może spaść poniżej progu, wybieramy wcześniejszą pełną pięciominutową chwilę, czyli $5$ h $50$ min od pomiaru o 8.00.

Odpowiedź

Kolejną dawkę należy podać około godziny 13.50.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 11

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) $T(0)=22+68=90^\circ\mathrm C$ . Po $20$ minutach $T(20)=22+68e^{-1{,}8}\approx33{,}24^\circ\mathrm C$ , więc spadek wynosi około $56{,}76^\circ\mathrm C$ .

b) Z $45=20+65e^{-10k}$ dostajemy $e^{-10k}=5/13$ . Dla temperatury $30^\circ\mathrm C$ mamy $e^{-kt}=2/13$ , zatem

t=10\frac{\ln(13/2)}{\ln(13/5)}\approx19{,}59\ \text{min}.

Odpowiedź

a) $90^\circ\mathrm C$ i spadek o około $56{,}8^\circ\mathrm C$ ; b) po około $20$ min.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem